Preàmbul: Tornar a les eleccions presidencials franceses

El 6 de maig, François Hollande va ser elegit president de la República francesa. Per als nostres lectors estrangers, recordem per primera vegada com funciona una elecció presidencial a França. Un petit nombre de candidats (10 en aquest cas) de diverses vores polítiques ha estat seleccionada prèviament per funcionaris electes locals, es procedeix entre si a les eleccions de dos torres. En aquest vot, s’organitza una primera ronda de votació en què cada elector ha de triar un dels candidats (o abstenir-se). Si un dels candidats rep la majoria absoluta dels vots expressats (que és rar a la pràctica), aquest candidat és declarat guanyador. En cas contrari, es procedeix a una segona ronda de vot en què els dos candidats que van rebre més vots en la primera ronda competeixen a cara a cara; El candidat que rep el més vot a la segona ronda és llavors declarat guanyador.

Demosco també el que van ser els resultats de les eleccions de 2012. Simplificar la presentació, només conservarem els cinc candidats principals ( que de vegades abstracta per la seva inicial), és a dir, François Bayrou (B), François Hollande (H), Marine Le Pen (L), Jean-Luc Mélenchon (M) i Nicolas Sarkozy (s). Els resultats de la primera ronda van ser els següents:

  1. Holland (31%)
  2. sarkozy (28%)
  3. le plen (19%)
  4. Mélenchon (13%)
  5. bayrou (9%)

Cap dels candidats que ha superat el 50% dels vots, hi ha Va tenir una segona ronda contra Holanda a Sarkozy, els resultats dels quals van ser:

  1. Holland (52%)
  2. sarkozy (48%)

JPEG - 32,4 KBFrançois Hollande Hollande, candidat elegit per la gent.

Al final, va ser Holanda que va ser elegit president.

Siguem una mica més curiosos, i preguntem què podrien haver estat els resultats de l’altra cara a cara imaginable. A més de la segona ronda H – S que realment va tenir lloc, hi hauria hagut 9 altres possibilitats: B – H, B – L, B – M, B – S, H – L, H – M, L – M, L – S i M – S. Evidentment, mai no sabrem amb certesa el que aquestes segones torres fictícies haurien donat; No obstant això, per tal de creure els instituts d’enquesta, els resultats haurien estat més o menys de la següent manera:

  • Bayrou bat Holland 51 – 49;
  • bayrou supera la ploma 74 – 26;
  • Bayrou bat Mélenchon 75 – 25;
  • Bayrou Bat Sarkozy 55 – 45;
  • Holland Beats Le Pen 65 – 35;
  • Holland Bat Mélenchon 80 – 20;
  • Le Pen Bat Mélenchon 53 – 47;
  • Le Pen és colpejat per Sarkozy 32 – 68;
  • mélenchon és Dolor per Sarkozy 36 – 64.

Sintetitzem tot això en forma de “diagrama de preferència binària” a continuació, on:

  • cada candidat està representat per una posició separada;
  • Entre cada parell de candidats, hi ha una fletxa que apunta cap a la de les dues que tindrien vistes a la cara a cara (descuidem la possibilitat d’un ex ie); / li>
  • En cada fletxa, indiquem la partitura (en percentatge) per la qual el guanyador de les guerres presencials de cara a cara.

Diagrama de preferències binàries per a les eleccions presidencials

El que podrien haver donat la segona torres imaginables entre els cinc candidats principals de les eleccions presidencials del francès del 2012 ( Les fletxes apunten als guanyadors).

jpeg - 28,4 kbFrançois Bayrou Bayrou, el candidat volia per la gent?

Una recerca de vagues: François Bayrou hauria derrotat a qualsevol dels seus oponents a la segona ronda! Com, en la situació històrica, no ha estat qualificat, òbviament no ha estat elegit, sinó que diversos editorials van destacar que hi havia una forma de paradoxa … no seria lògic, de fet, un candidat generalment preferit a qualsevol altre es consideri El favorit de tots?

Filosofia del criteri de Condorcet

Declaració del criteri

jpeg - 42.3 konicolas de Condorcet Retrat de Condorcet Nicolas de Jean-Baptiste Greuze.

Va ser en qualsevol cas l’opinió de Nicolas de Condorcet, erudit francès del segle XVIII, que va ser un dels pioners de l’estudi matemàtic de la democràcia. Va introduir les definicions següents (que ens adaptem aquí en llengua moderna):

definicions (guanyador de Condorcet; criteri de Condorcet)

Si, entre els candidats per a una elecció, hi ha qui, enfrontat a qualsevol Altres, és preferible per la majoria dels votants, aquest candidat es denomina guanyador de Condorcet.

Es diu que un mètode electoral satisfà el criteri de concorcet quan, quan hi ha un guanyador de Condorcet, sempre li és que aquest mètode declara el guanyador (sempre que els votants han votat segons les seves preferències genuïnes ).

En primer lloc, es necessita una auditoria: estem parlant del guanyador de Condorcet com si fos únic, però és això el cas? La resposta és “sí”:

teorema (singularitat del guanyador de Condorcet)

No hi pot haver més que un guanyador de Condorcet amb una elecció.

Demostració

Imagineu-vos una situació en què hi hauria dos guanyadors de Condorcet (almenys), anomenats x i y. ja que X és un guanyador de Condorcet, supera les importacions dels seus competidors al davant -Face-a-cara, tan especialment Y. Però de la mateixa, ja que hi ha un guanyador de Condorcet, ha de derrotar a X cara a cara … o la cara a cara entre X i Y, òbviament, només poden tenir Un guanyador: per tant, és realment impossible que hi hagi més d’un guanyador de Condorcet.

La tesi de Condorcet va ser que, perquè un mètode electoral sigui realment just, ha de satisfer Criteri homònim. Que citem el gran home:

P> pot resultar de la manera de votar en les eleccions ordinàries una decisió en realitat contrària a la pluralitat. Per tant, un hauria de substituir en aquesta forma la que cada vot, expressant l’ordre segons la qual situa els candidats, pronunciadria les dues preferències respectives que els dóna. Quan vulgueu triar el candidat més digne, serà suficient que el sistema no impliqui contradicció per al candidat que mereixi preferència en tots.

Condorcet s’oposaria, per tant, s’oposaria al nostre mètode desincaniminal amb dues voltes, ja que l’exemple de Bayrou mostra que no satisfà el seu criteri! Però abans d’anar més enllà, cal explicar quines són les justificacions teòriques de la tesi de Condorcet.

Justificació matemàtica del criteri de Condorcet

Si llegiu el meu article anterior, probablement recordeu Que un gran problema de la teoria matemàtica de les eleccions és la següent: els votants de vegades tenen interès en “vot estratègic” expressant una falsa opinió que aportaria el resultat de la votació per ser millor per a ells que el. Què hauria donat sinceritat Suffragi! En el cas del vot desincordinat amb dues torres que parlàvem en el preàmbul, un exemple típic és el que s’anomena “vot útil”. Imagineu-vos i el dia abans que les primeres enquestes rodones donin a Sarkozy lluny al lideratge, seguit A la ploma i Holanda fins al colze-to-colze, i molt més lluny de Mélenchon. Penseu en un elector fictici que és un gran seguiment de Mélenchon, es barreja a Holanda, no li agrada Sarkozy i odia la ploma. Aquest elector diu: “Si voto Mélenchon, no serà suficient per qualificar-la per a la segona ronda de totes maneres; D’altra banda, corro el risc de veure una segona ronda entre els dos candidats que m’agrada menys. D’altra banda, per votant Holanda, disminueixo les possibilitats d’una segona ronda Sarkozy – Le Pen i promovent l’eliminació del meu candidat odiat! Així que tinc un interès per votar Holanda “.

Però quan tenim en compte aquest fenomen de vot estratègic, el guanyador de Condorcet (si hi ha un) pot organitzar-se per ser elegit segur! (En qualsevol cas el mètode desincaniminal amb dues rondes).
, imagina que hi ha un guanyador de Condorcet anomenat X, i suposem que les enquestes prediuen la victòria d’un altre candidat. Com X és un guanyador de Condorcet, hi ha una majoria de votants que ho prefereixen a Y. Aquesta majoria pot consultar i dir “Anem a convertir els vots per x des de la primera ronda; Així que tindrà la majoria de vots sobre el seu nom i seran elegits, que més interessants per a nosaltres! “. Per descomptat, això no vol dir que tots els votants d’aquesta majoria tinguin X per al candidat preferit. Fins i tot es pot imaginar que un nombre substancial prefereixi un tercer candidat Z, i pot ser temptat de guanyar Z amb l’ajuda de Votants antics que també prefereixen Z a X … però gairebé no es perd, perquè X és un guanyador de Condorcet, també hi ha una majoria (però no es componen dels mateixos votants, és clar) que prefereix X a Z; si es fa Z Massa perillós a les enquestes, és la majoria que llavors ligore votar a X per evitar l’elecció de Z!

Així, un mètode satisfactori El criteri de Condorcet té aquest avantatge que els votants no han de cavar-la Brains per saber si el seu vot està ben calculat: amb un mètode d’aquest tipus, si hi ha un guanyador de Condorcet, necessàriament serà elegit!

Una altra qualitat de mètodes que satisfacin el criteri de Condorcet és el següent: mentre que els mètodes convencionals (incloent mètodes A, B, C, D i) E de l’article anterior) estan subjectes a un fenomen de “veus de dispersió” quan el nombre de candidats es fa gran, fenomen que pot conduir a un resultat irrellevant, el resultat d’un mètode que satisfà el criteri Condorcet no canvia quan retirem o afegim “Petits” candidats:

teorema (indiferència als candidats petits)

  1. Si partim d’una situació en què es conquisten els candidats a Condorcet, i un o més dels altres candidats es retiren de la pàgina Elecció, llavors el guanyador del Condorcet inicial segueix sent guanyador de Condorcet després d’aquesta retirada.
  2. viceversa, si compartim una situació en què un candidat és conqueridor de Condorcet, i un o més nous candidats s’introdueixen a cadascun dels quals el El guanyador inicial és preferit cara a cara, llavors el guanyador inicial de Condorcet segueix el guanyador de Condorcet després d’aquesta addició.

demostració

La retirada o l’addició d’un candidat no canvia les preferències binàries dels votants entre els altres candidats. Per apuntar I, ja que el nostre guanyador inicial de Condorcet va superar inicialment tots els seus oponents a la cara, de manera que segueix sent el cas si es retiren un o més dels seus oponents. Per al punt II, el nostre guanyador inicial de Condorcet continua vèncer a tots els seus oponents inicials, i hem assumit que també estava batent els seus nous oponents, de manera que sempre guanyi de Condorcet en la nova situació.

Nota, d’altra banda, que si el guanyador del prospectiu Condorcet està en un sentit inevitable, és com no necessàriament el que és realment el favorit de la gent (en el sentit que havíem esmentat En l’article anterior, és a dir, mesurant la felicitat total que aquest candidat aportaria al públic si elegit). Així, si només hi ha dos candidats x i y, i que el 51% dels votants prefereixen una mica x a y i el 49% dels votants prefereixen molt en gran part y a x, és x que serà elegit quan volem dir que és més aviat on representa la voluntat de la gent. Dit això, aquest fenomen de la “dictadura majoritària”
no està directament relacionada amb el criteri de Condorcet: és, de fet, un vici inherent a la democràcia,
com ja inclòs Kant.

De moment, hem parlat molt sobre la filosofia i poques matemàtiques (i fins i tot menys investigació!). Però aquesta introducció era necessària per entendre per què el criteri de Condorcet és un objecte matemàtic natural i important. En la segona part d’aquest article, ara parlarem d’una investigació molt més recent que gira al voltant d’aquest criteri.

Existeix realment la paradoxa Condorcet?

La paradoxa Condorcet

El criteri de Condorcet naturalment ens porta a parlar de la paradoxa Condorcet, que ja havíem trobat a l’article anterior. Aquesta paradoxa estable en substància que no és necessàriament un guanyador de Condorcet:

Paradox Condorcet (1785)

Tan aviat com hi hagi almenys 3 candidats A continuació, hi ha situacions en què no hi ha guanyador de Condorcet.

demostració

Suposem que hi ha almenys 3 candidats i trieu tres candidats particulars entre ells, anomenats X, Y i Z. Imaginem que tots els votants prefereixen X, Y i Z a tots els altres candidats, de manera que cap d’aquests altres candidats no pugui ser conqueridor de Condorcet. Ara podem imaginar encara més que el 40% dels electors tinguin l’ordre de preferència “X Llavors Y Llavors Z”, 35% “i llavors Z Llavors X” i 25% “Z i després X Llavors Y”. A continuació, el 65% dels electors prefereixen x a Y (de manera que no hi ha un guanyador de Condorcet), el 75% prefereix Y to Z (SO Z no és un guanyador de Condorcet), i el 60% prefereix Z a X (de manera que X no és Condorcet) Guanyador): No hi ha cap candidat, per tant Conqueror de Condorcet.

No obstant això, hem vist en el preàmbul un cas real Elecció sense menys de 5 candidats en què hi ha de fet un guanyador de Condorcet! Això suggereix que podria existir un fenomen que prohibiria la paradoxa de Condorcet a la pràctica, ja que les situacions polítiques realistes verificaria alguns supòsits particulars sota els quals La paradoxa és impossible. En els paràgrafs següents, presentarem diferents models de preferències polítiques i vegem si permeten o no l’ocurrència de la paradoxa Condorcet.

Condorcet paradoxa en un tauler d’escacs polítics

Introduirem aquí una modelització bastant realista de les preferències polítiques dels electors que anomenarem la modelització pel tauler d’escacs polítics, la idea de la qual és simplement en general, Estem votant per al candidat les posicions que cauen fins a les nostres opinions. Se suposa que hi ha un “tauler d’escacs polític” abstracte (que permet parlar de “distància política”) en què els candidats es poden col·locar, així com els electors, com ara les preferències de cada votant són el candidat que és el més proper al més allunyat.

Es podria esperar que amb aquesta modelització, mai no hi hagi paradoxa de Condorcet … però aquest no és el cas! Suposem que el tauler d’escacs polític correspon a un autèntic tauler d’escacs (les caixes de les quals mesuren, diuen, de 5 cm), on es col·loca un candidat X a la caixa B7, un candidat Y a la caixa F7, un candidat Z EN E4 i un candidat C2 . Ens imaginem que l’electorat es divideix en quatre grups de diferents mides, cadascuna de les quals té exactament la mateixa posició que un dels candidats: el 34% dels electors es troben al nivell de X, 26% al nivell de Y , 18% de z i 22% W. Les distàncies entre candidats són llavors els indicats al dibuix a continuació, de manera que les següents preferències per als votants (“X > i” significat “x Es prefereix a Y “):

L’exemple del tauler d’escacs

quí, a l’esquerra, una política Configuració del tauler d’escacs tal que, si hi ha un 34% dels electors en X, 26% en Y, 18% en Z i el 22% a W, i que cada elector prefereix els candidats dels quals és més propera, llavors cap candidat és el Condorcet Guanyador: a la dreta, el diagrama de preferència binari corresponent.

  • X > y > z > w per al 34% de les eleccions RS;
  • y > z > x > w per a 26% dels votants;
  • w > z > x > Y per al 22% dels votants;
  • z > w > y > x per al 18% dels votants.

Així, en aquesta configuració, x no és un guanyador de Condorcet (perquè és colpejat per z al 66%) ni (colpejat per X a 56%), ni Z (colpejat per y al 60%), ni w (batut per z al 78%): Així que tenim paradoxa de Condorcet!

Els teoremes del votant mitjà

En l’exemple del tauler d’escacs, vam fer una etapa política de dimensió 2, és a dir, amb 2 coordenades (una per a les columnes i una per a les línies). No va ser una coincidència! Perquè si el tauler d’escacs polític només té una dimensió, es pot demostrar que encara hi ha un guanyador de Condorcet:

Teorema (primer el teorema del votant mitjà; negre 1958)

Quan el tauler d’escacs polític és Un eix graduat (que generalment interpretem com a posicionament polític de la “més esquerra” cap a la “més dreta”), sempre hi ha un guanyador de Condorcet.

Per demostrar aquest teorema, nosaltres Primer introduirà una definició que ens serà útil a la prova:

definició (perfil de preferència a λ)

Es diu que un elector a un perfil de preferències en λ (llegir “lambda” ) Quan es viatja la llista de candidats de l’esquerra a la dreta cap a la dreta, la preferència d’aquest elector puja fins a arribar al seu candidat favorit, després descendeix. (Possiblement, el candidat preferit pot ser l’esquerra o el dret a la dreta de tots; l’important és mai tornar després de baixar).

Per exemple, si assumim que els candidats de la presidència Les classes electorals d’esquerra a dreta segons l’ordre “m, h, b, s, l”, llavors les preferències “b > h > s > el > m “o” l > s > b > h > m “són perfils en λ, però no” h > m > s > b > l, des de tals Una preferència cau entre H i B abans de pujar entre B i S.

demostració del primer teorema de l’elector mitjà

El primer El punt és observar que, quan el tauler d’escacs polític és un eix graduat, tots els votants tenen un PR De preferiblement en λ. De fet, considereu qualsevol elector.Quan passem pel tauler d’escacs polítics d’esquerra a dreta, comencem a apropar-nos a aquest l’elector abans de sortir, de manera que les preferències dels votants augmentin (sempre que ens quedem a l’esquerra que aquest elector) abans de descendir (una vegada que ho fem Més correcta): es correspon amb un perfil de preferència en λ. (Si cap candidat es troba exactament la mateixa posició que l’elector, serà necessari mirar les distàncies precises per saber si el candidat preferit d’aquest votant és el que es troba immediatament a la seva esquerra o immediatament a la seva dreta, però a la dreta) Dos cas tenim un perfil a λ).

Ara demostrem el teorema. Per evitar els problemes de marcar, suposem que hi ha un nombre senar de votants. Cadascun d’aquests votants té un candidat preferit. Imagineu-vos que demanem a cada votant que escrivís el nom del seu candidat favorit en un butlletí i classifiquem els butlletins obtinguts del candidat més esquerre al candidat més a la dreta, i anem a trucar a X el candidat que es troba al butlletí candidat situat a la meitat de aquest rànquing. Afirmo que X és un guanyador de Condorcet. De fet, considereu un candidat situat, per exemple, més just que X (per a un candidat a l’esquerra, seria suficient per invertir “dreta” i “a l’esquerra” a la resta). A mesura que X es troba enmig de la nostra classificació de butlletins, hi ha una majoria absoluta de butlletins que es troben en nom de X o un candidat més esquerre que X, el que significa que hi ha una majoria absoluta dels votants que el candidat preferit és X , o un candidat situat més a l’esquerra que X. A continuació, considerem un votant, dels quals anomenem Z el candidat preferit (Z que pot ser el mateix que X). Sabem a través del paràgraf anterior que el nostre elector té un perfil de preferències en λ, de manera que quan s’allunya de z a la dreta, les preferències de l’elector només disminueixen. Però aquí x és almenys tan correcte com z i y és encara més just que x, de manera que es creuarem allà més tard a x durant aquesta remotedat; Per tant, el nostre elector prefereix X a Y. Com és el mateix per a una majoria absoluta dels votants, significa que X és predominantment preferit a Y, i com podem fer el mateix raonament per a tots els possibles allà, demostra que X és un Condorcet Guanyador. Tingueu en compte que aquesta demostració mostra que el teorema es manté vàlid tan aviat com tots els votants tinguin un perfil de preferències en λ.

la manca D’aquest primer teorema de l’elector mitjà (i la modelització per part del tauler d’escacs polítics) és que considera que l’única qualitat dels candidats que interessaria els votants és el seu posicionament polític. No obstant això, amb la mateixa posició política, alguns candidats poden ser “millors” o “pitjor”, per exemple a causa de les seves qualitats intel·lectuals o carismàtiques. Per tant, un model més fi és el següent: D’una banda, hi ha un eix graduat en què es col·loquen els candidats i els electors, i, d’altra banda, també s’associen a cada candidat un “valor intrínsec”. Cada electroria es calcula llavors per als diferents candidats una “puntuació” igual al valor intrínsec del candidat menys la distància del candidat, i va classificar els candidats per la puntuació descendent: es dóna un exemple al dibuix a continuació.

Eix polític amb valors intrínsecs

Aquí hi ha un exemple que tingui en compte tant la col·locació de Els candidats a l’eix polític “esquerra – dreta” i el valor intrínsec dels candidats. En aquest exemple, hi ha cinc candidats vistos per punts, el valor intrínsec de cadascun d’ells està indicat entre parèntesis. Si considerem un elector situat a la posició “E”, aquest elector proporciona una puntuació igual a 9 (valor) – 5 (distància) = 4, a H Una puntuació de 8 – 1 = 7, a B una puntuació de 5 – 1 = 4, i de la mateixa a S i L de les respectives puntuacions de 5 i 3. Per tant, l’ordre de les preferències d’aquest elector és “H > m>

s > b > l “- que no és un perfil en λ.

Bé, en aquest model, encara estem segurs de l’existència d’un guanyador de Condorcet:

teorema (segon teorema del votant mitjà; Roberts 1977)

Si els candidats i els votants es col·loquen en el mateix eix graduat d’una banda, a cada candidat s’associa amb un valor intrínsec de l’altra, i que les preferències de cada elector es determinen per la diferència “valor intrínsec” – distància del candidat “, sempre hi ha un guanyador de Condorcet.

Per demostrar aquest teorema, també estem començant aquí introduint una definició:

definició (Preferències presentades)

Dóna-li que els candidats es classifiquen d’esquerra a dreta i Els votants també es van classificar d’esquerra a dreta, diu que la configuració de les preferències s’ampata si és impossible trobar un x candidat a l’esquerra que un altre candidat y i un elector té més a l’esquerra que un altre b elector que prefereix y X Però B prefereix X a Y (és a dir, que són tal que l’elector a l’esquerra prefereix el candidat adequat i l’elector dret del candidat a l’esquerra).

Demostració del segon teorema de l’elector mediana

El primer punt és observar que, sota les hipòtesis del teorema, la configuració de les preferències és privada. Penseu en dos candidats X i Y, amb vosaltres més a la dreta que X. Diu que la configuració de les preferències es descriu significa que, com un elector fictici es mou d’esquerra a dreta a l’eix polític, no pot preferència “y > x “A preferència” x > y “; Per demostrar que, n’hi ha prou per establir que la diferència “X puntuació de puntuació” només pot augmentar quan anem d’esquerra a dreta. Ara, en aquesta diferència de puntuació, l’única cosa que canvia d’un elector a un altre és la part de la partitura que depèn de la distància: la que depèn de la puntuació és la mateixa! Per tant, és suficient per demostrar que la diferència “distància de Y – Distància de X” només disminueix quan es va des de l’esquerra a la dreta. Llavors, què passa quan anem de l’esquerra a la dreta? Al principi, sempre que encara estem deixats de x, cada pas a la dreta més a prop de X com de Y, i per tant la diferència “Distància a Y – Distància a X” no varia. Llavors, quan es troba entre X i Y, cada pas cap a la dreta no només disminueix la distància a Y, sinó que també augmenta la de X, de manera que la diferència “Distància a Y – Distància a X” disminueix. Finalment, més enllà de Y, cada pas cap a la dreta ens mou tants x com de Y, i per tant, de nou, la diferència de distàncies es manté constant. Així, tenim una configuració de preferències declarats.

Ara demostrem el teorema. Per evitar els problemes d’ex-æquo, suposem que hi ha un nombre senar de votants. Si classifiquem aquests votants d’esquerra a dreta a l’eix polític, hi ha un que es troba enmig d’aquest rànquing, que anomenarem el “elector mitjà”. Jo dic que les preferències majoritàries són exactament les mateixes que les d’aquest l’elector mitjà i, per tant, en particular el candidat preferit de l’elector mediana és un guanyador de Condorcet. En efecte, suposem que entre dos candidats X i Y, l’elector mitjà prefereix x; Per solucionar les idees, diguem que és més dreta que X (en cas contrari, inverteix “dreta” i “esquerra”). Així, segons el resultat intermedi anterior, més en els votants de l’esquerra que l’elector mitjà també prefereix X a Y, i així que hi ha una majoria dels votants que prefereixen x a Y, el que volíem demostrar. Tingueu en compte que aquesta demostració mostra Que el teorema segueix sent vàlid tan aviat com es priva la configuració de les preferències.

A més de demostrar l’existència de l’existència de l’existència de l’existència de l’existència de l’existència de l’existència de l’existència de l’existència de l’existència de l’existència de l’existència de l’existència de l’existència de l’existència de l’existència de l’existència de l’existència de l’existència de l’existència de l’existència L’existència de l’existència de l’existència de Conqueror de Condorcet, les proves anteriors ens diu què és aquest guanyador: és el candidat preferit de l’elector situat “al mig” de tots sobre l’eix de les preferències (d’aquí el nom de “Teorema” de l’elector mediana “). Un fenomen similar es va produir per al primer teorema de l’elector mitjà, on el resultat de les eleccions va correspondre a l’elecció més central entre els candidats preferits dels diferents constituents. Una moral que podem en dibuixar És que el criteri de Condorcet promou els candidats “centristes” en comparació amb els candidats més orientats o extrems Ists. És un comportament desitjable? Les opinions difereixen en aquesta pregunta:
Per a alguns, per promoure els centristes riscos repugnant els votants no centristes que tindrien en compte la impressió de no tenir-se en compte i promoure la política del consens de Mou a costa de més ambiciós projectes; Altres, al contrari, creuen que una política centrista s’autori el debat permetent que tothom navegui una mica, i aquesta gran estabilitat política seria més propici per a l’establiment de projectes a llarg termini..

i Quan no hi ha guanyador de Condorcet?

Els teoremes de l’elector mediana tendeixen a indicar que en situacions concretes, tindrem la major part del temps guanyador de Condorcet, quina és la història de les eleccions realment corroborant.
que va dir, la modelització purament tridimensional en què descansen aquests teorems és clarament reduint, i l’exemple del tauler d’escacs ens mostra que és només un cas més complex per veure reaparició de la paradoxa Condorcet. .. en definitiva, Si volem aplicar un mètode electoral satisfent el criteri de Condorcet, caldrà donar una regla a designar el candidat elegit quan no hi ha guanyador de Condorcet. Però, què? Aquesta pregunta ha començat a estudiar només algunes dècades, sobretot perquè abans de la invenció de la informàtica era pràcticament impossible fer el recompte d’un vot on els votants indiquen les seves preferències entre tots els candidats. Aquesta és la investigació sobre aquest tema que parlarem ara.

El mètode minimax

Comencem amb un enfocament molt senzill. Es pot dir: “A la base, un guanyador de Condorcet és un candidat que realitza més del 50% contra tots els altres. Si cap dels candidats té èxit, podem baixar el llindar del 50% per dir:” Si només hi ha un Dels candidats que aconsegueixen aconseguir, per exemple, un 45% contra qualsevol altre, llavors és aquest candidat que ha de ser elegit “”. En altres paraules, el protocol és el següent: Per a cadascun dels candidats, mirem el pitjor De les puntuacions que faria en les seves diferents cares a cara, llavors declarem que els candidats la pitjor puntuació és la millor. Aquest mètode s’anomena mètode Minimax, perquè sembla qui és el millor (“Max”) al Situació on és el menys bo (“mini”).

Així, per l’exemple del tauler d’escacs presentat anteriorment (on no hi ha guanyador de Condorcet), la pitjor derrota de X té lloc contra z per 66 %, la pitjor derrota de Y enfront de x un 56%, la pitjor derrota de Z contra el 60% i la pitjor derrota de W contra Z per 78%. La més lleugera d’aquestes pitjors derrotes és la de Y, que és, per tant, el guanyador Minimax.

Sembla natural! Per desgràcia, aquest mètode obre el camí a una forma de “manipulació” (sinònim de pejorativa de “vot estratègic”) especialment perillós. Suposem que en l’exemple del tauler d’escacs prèviament adreçat, tenim més d’un grup V compost de “” Anarquistes “. Aquests anarquistes són relativament nombrosos, ja que constitueixen el 40% de la població total, de manera que tenim la següent distribució global: x 20%, i 16%, Z 11%, W 13%, V 40%. No obstant això, els anarquistes són unànimes contra ells fora del seu grup: així com els partidaris de X i Y com de Z que classifiquen la darrera posició en el seu ordre de preferències! Aquí és on els anarquistes tenen una gran idea per prendre energia malgrat aquest important handicap. Diuen: “En lloc de votar de manera equilibrada entre els nostres competidors, organitzarem amplificar les pitjors derrotes tant com sigui possible!”.

Per fer-ho, els votants del grup V es divideix en Tres subgrups (d’altra banda, encara només tenen un candidat):

  • subgrup $ v_1 $ compte 18% de tots els votants i vot “v > z > y > x > w “;
  • El subgrup $ v_2 $ té el 12% dels votants i vot “v > y > x > z > w “;
  • el subgrup $ v_3 $ compte 10% votants i vot” v > x > z > y > w “.

Amb aquesta estratègia, tenim els vots següents:

  • x y > z > w > V Per al 20% dels votants;
  • v > x > y > z > w per al 18% dels votants;
  • y > z > x > w > v per al 16% dels votants;
  • w > z > x > y > v per a 13% dels votants;
  • v > z > x > Y > w per al 12% dels votants;
  • z > w > y > x > v per al 11% dels votants;
  • v > y > z > x > w per al 10% dels votants.

Això condueix al següent diagrama de preferència binària (dreta):

La manipulació dels anarquistes

Aquí hi ha els diagrames corresponents a l’exemple del tauler d’escacs amb anarquistes, a l’esquerra en el cas que els anarquistes votin sincerament (assumim que les preferències dels anarquistes entre X, Y i Z són aleatoris i W és encara el seu candidat odiat), i amb raó amb la manipulació que hem explicat (els canvis s’indiquen en vermell). En el primer cas, hi ha el guanyador Minimax; En el segon, és V, a qui encara són tots els altres candidats!

Així, les pitjors derrotes de x, y i z són respectivament del 62%, 63% i 64% (respectivament contra Z, X i Y), la pitjor derrota de W és del 87% (contra Z) i la pitjor derrota de V és del 60% (contra qualsevol dels seus oponents): és, doncs, V que es converteix en el guanyador Minimax ! “Evidentment, els partidaris de X, Y, Z i W després tenen l’oportunitat d’aliar-se per designar Y com a candidat comú i fallar el pla de V, però vam dir uns quants paràgrafs superiors a la filosofia del criteri de Condorcet Deseu el màxim possible per votar els turments del vot estratègic. Per tant, sembla, segons aquest punt de vista, que el mètode Minimax no és rellevant quan no hi ha cap guanyador de Condorcet.

El mètode schulze

Ara anem a presentar un mètode Concebut el 1997 per un estudiant de física alemany anomenat Markus Schulze, que no té la discapacitat amb el mètode MINIX. La filosofia darrere del mètode Schulze és el següent: “A la part inferior, una elecció, mai no és un truc per evitar les molèsties de les revolucions: Consultem els components per saber qui finalment guanyaria la revolució sense haver de batre!”.

Què s’anomenarà una “revolució” aquí, és quan un gran nombre de votants acorden derrocar el president i substituir-lo per un altre, en la identitat de la qual han acordat abans. En aquest sentit, és fàcil entendre el criteri de Condorcet: Si un candidat (trucada-it) és guanyador de Condorcet, qualsevol altre candidat que passaria al poder seria invertit ràpidament per la majoria que prefereix X a aquest candidat, mentre que una vegada x Estarà al poder que mai no serà la majoria per derrocar-la, que farà que el seu seient sigui molt més estable. Al final, ja que ràpidament tenim transicions de N ‘Importacions que a X i rarament x transicions a qualsevol persona, és X que estarà en potència la major part del temps. (Tingueu en compte que aquí no pretenem que sigui impossible derrocar a un president sense tenir una majoria lligada contra ell: només diguem que això és molt més fàcil fer-ho tan aviat com tinguem uns quants més persones per liderar la revolució) .

Anem a veure què passaria en aquest marc per a l’exemple del tauler d’escacs amb anarquistes. Les revolucions tendeixen a derrocar els presidents en la direcció indicada per les fletxes, i molt més rarament en sentit contrari. Per tant, al final d’algunes revolucions, el president és necessàriament x, y o z, ja que una vegada vam arribar a un d’aquests tres no hi ha manera al llarg de les fletxes que aporta w o v! Així que ja veiem (com ens semblava natural) que no és v que les revolucions aporti la major part del temps.

Continuem. Sabem que serà essencialment x, y i z que compartiran el poder, però en quines proporcions? Si només mirem les fletxes sobre aquests tres candidats, tenim el diagrama esquerre a continuació:

El mètode Schulze contra la manipulació dels anarquistes

Aquests diagrames expliquen què passa quan el mètode Schulze s’aplica a la situació en què els anarquistes estan tractant de manejar la seva manipulació. El grup principal del diagrama de les preferències binàries en aquesta situació es compon dels tres candidats {x, y, z}: en particular v s’elimina des que va ser colpejat per tots els altres candidats! En un segon pas, mirem el diagrama de les preferències binàries entre aquests tres candidats. Per obrir un grup de capçalera més petit, eliminem la fletxa més feble. El nou diagrama té un grup de capçal que consisteix en l’únic candidat x: Així que és el que és declarat guanyador pel mètode.

Ara la idea és que de manera similar ho era Molt més difícil fer una revolució amb menys del 50% de les persones que més del 50%, és molt més difícil fer una revolució amb un 62% respecte al 63% o del 64%. ..Per tant, esborrem la fletxa marcada “62%” per significar que aquesta revolució és rara, i arribem al diagrama dret anterior. Al final d’algunes revolucions, és necessàriament X que és president: la idea del mètode Schulze és dir que és ell qui ha de ser proclamat guanyador de les eleccions!

Ara que vam explicar el principi del mètode Schulze, acabarem donant una definició rigorosa i assegureu-vos que doni un guanyador únic en tots els casos. Simplement assumim que no hi ha dos candidats exactament lligats o dues fletxes que tinguin exactament la mateixa força en el diagrama de les preferències binàries, que sempre és el cas de la pràctica quan hi ha molts votants.

Tingueu en compte que en això Paràgraf, de vegades, ens reunirem els diagrames de preferència binaris incomplets, és a dir, on alguns candidats no estan connectats per les fletxes.

definició (grup de cap)

en un diagrama de preferències binàries (possiblement incompleta), Es diu que un candidat (anomenat aquí X) pertany al grup líder quan, a partir de qualsevol altre candidat, és possible seguir un camí d’acord amb les fletxes que parteixen d’aquest candidat i acaben en x.

Aquí és important assenyalar que si el diagrama està complet, el grup de capçalera mai no està buit:

teorema

En un diagrama de preferència binària completa, el grup de capçalera mai no està buit.

demostració

Presentarem una manera de construir el grup principal que demostra que aquest no està buit. Trucaré aquí “HeadGree” qualsevol grup de candidats, com ara, quan partim de qualsevol candidat que no estigui en aquest grup, podem arribar a qualsevol candidat del grup seguint les fletxes.

Primer observo que el grup De tots els candidats és una herba de cap, ja que no hi ha cap candidat que no pertanyi a aquest grup!

Ara, dic el següent: quan tingueu un alt overgrown,

  • o aquest upgroup és el grup real de cap;
  • o, entre aquest upgroup, podem seleccionar un determinat nombre no zero de candidats que formen un excés estrictament menor.

De fet, suposem que el nostre grup superior no és el veritable grup de capçalera. L’única manera d’això passa és que hi ha almenys un candidat X en aquest grup de majúscules als quals no és possible tenir èxit d’un altre candidat Y, que és necessàriament en el grup Ongrup, ja que sabem que podem conduir a qualsevol candidat del Upgroup des de qualsevol candidat fora del grup superior. Ara, selecciono els candidats del Upgroup que són tal que, quan partim d’un d’aquests candidats, no podem arribar a X. Aquest nou grup no està buit, ja que conté allà, i és estrictament més petit que el grup de capçalera inicial Atès que no conté X. Jo dic que aquest nou grup segueix sent un grandde de cap. De fet, considereu un candidat Z que no estigui en aquest nou grup. O aquest candidat no estava en el nostre upgroup inicial, i després sabem que podem anar de Z en qualsevol punt del nostre grup inicial inicial i, per tant, especialment en qualsevol moment del nostre nou grup. O aquest candidat estava en el nostre Upgroup inicial, però no en el nou grup. Així, candidat Z, podem tornar al candidat X seguint les fletxes (per definició del nou grup). Però el candidat X, podem anar a qualsevol candidat W del nou grup: De fet, hi ha una fletxa entre X i W perquè el nostre diagrama és complet, i que necessàriament apunta a X a W ja que no hi ha manera de W a X ! Al final, hem demostrat que per a qualsevol candidat Z que no estigui al nostre nou grup, podem anar d’aquest candidat a qualsevol candidat del nou grup seguint les fletxes, el que significa que el nou grup és un upgroup.

Anem a la tapa del cap formada per tots els candidats, i sempre que encara no hem trobat el grup de capçalera real, apliqueu el mètode anterior per formar excedents de conductes cada vegada més petites, però totes no buides. Necessàriament a la vegada haurem d’aturar-nos, i en aquell moment el nostre upgroup serà el veritable grup de capçalera segons l’alternativa anterior, i aquest grup de cap serà ben buit, que demostra el teorema.

definició (mètode schulze)

Des d’un diagrama de preferència binària completa (on totes les fletxes porten diferents puntuacions), definim el guanyador de Schulze pel següent mètode:

  1. Comencem des del diagrama de les preferències binàries per a tots els candidats.
  2. Si en realitat només hi ha un candidat, el que es proclama guanyador i parada.
  3. En cas contrari, mirem el grup principal: si és estrictament més petit que el conjunt inicial, esborrem tots els candidats que no es troben en aquest grup de capçalera (així com les fletxes sobre ells), i el mètode es reprèn com si No hi havia més candidats restants.
  4. si, d’altra banda, el grup de capçal conté tots els candidats, les fletxes de les puntuacions més petites s’esborren gradualment fins que el diagrama líder obtingut esborrant les fletxes excloses almenys una de les fletxes els candidats (que passa necessàriament, perquè una vegada tot Les fletxes serien esborrades que no hi hauria ningú al grup Head). En aquest moment, esborrem tots els candidats que no es troben en aquest nou grup de cap (així com les fletxes sobre ells), i el mètode es torna a començar com si hi hagués més que els candidats restants.
  5. >

Per assegurar que el mètode condueix a la designació d’un guanyador, queda per ser verificat que durant el procediment d’esborrat de fletxes, no és probable que caigui en un grup de cap buit:

Teorema

Si es té un diagrama de preferència binari per a diversos candidats (possiblement incomplets) en què el grup de cap conté tots els candidats, de manera que esborrar una de les fletxes no pot portar a una situació en què el nou grup de caps seria buit . Per tant, quan un parteix d’un diagrama de preferències binàries en les quals el grup de cap conté tots els candidats i que es rastregen les seves fletxes un per un, el primer moment en què el grup de cap deixa de contenir tots els candidats donen un cap no buit Grup.

demostració

Demostrem només el començament de la declaració, la següent part “en conseqüència” resultant immediatament. Anem a sortir d’un diagrama de preferència binària en què el grup de capçal que conté tots els candidats i esborrar-se en una fletxa, que anomenem X el candidat que va deixar. Mostrarem que X és necessàriament al nou grup principal, que per tant no serà buit. Per fer-ho, considereu qualsevol candidat Y, i demostreu que podem passar de Y a X seguint les fletxes malgrat l’esborrament realitzat. Com, abans de l’esborrat de la fletxa, el grup de capçal contenia tots els candidats, llavors vam tenir un camí que va passar de Y a X. però inevitablement aquest camí no va demanar prestat la fletxa esborrada, ja que aquesta fletxa comença des de X llavors que en la nostra Way X és el punt d’arribada! Per tant, és que el camí es pot seguir sempre un cop esborrada la fletxa, el que volíem.

Hem dit que l’interès del mètode Schulze era evitar manipulacions com el dels anarquistes en l’exemple del tauler d’escacs. En realitat, es pot demostrar que aquesta manipulació és impossible amb aquest mètode:

Teorema (robustesa a la manipulació)

Suposem que hi ha dos tipus de candidats: els candidats “no raonables” i els candidats “raonables” (nosaltres Suposem que hi ha almenys un candidat raonable), i truqueu “votant raonable” un elector que classifica tots els candidats irracionals al final de la seva ordre de preferències. Per tant, si hi ha una majoria absoluta dels votants raonables i aquests votants voten sincerament, cap candidat no raonable pot guanyar amb el mètode Schulze.

demostració

Des de la definició del mètode Schulze, simplement mostrem que cap candidat no raonable pertany al grup principal en aquesta situació. No obstant això, quan partim d’un candidat raonable i la fletxa del diagrama de les preferències binàries, donem inevitablement a un altre candidat raonable: en efecte, la majoria dels votants raonables garanteixen que la fletxa pot assenyalar un candidat raonable a un candidat irracional. Per tant, és impossible tenir un camí que deixa un candidat raonable i condueix a un candidat irracional, el que volíem.

Conclusió

El Condorcet Criteri per a un mètode electoral democràtic, que afirma que un candidat preferit a qualsevol altra cara a cara ha de ser elegit sempre, permeten certa mesura per evitar els problemes del vot estratègic.Quan no hi ha guanyador de Condorcet, podem imaginar diversos mètodes diferents “Condorcet”: entre ells, el mètode Schulze té l’avantatge de tenir una simple justificació heurística i ser més robusta a algunes formes de manipulació només, per exemple, el Minimax mètode. Actualment es tracta d’un dels mètodes més populars de vot per teòrics de la democràcia, i s’utilitza per exemple per desenvolupadors de sistemes operatius gratuïts de Debian – Geeks encara a l’avantguarda del progrés estrany …; -)

en un Article futur, presentarem altres mètodes originals, no necessàriament compleix el criteri de Condorcet, sinó que també han estat defensats pels teòrics per les seves propietats matemàtiques.

Referències

  • Pista blava: les pàgines de Wikipedia “Mètode Condorcet”, “Condorcet Paradox” i “Mètode Schulze” (aquesta darrera pàgina que s’està millorant a la pista vermella).
  • En els teoremes de l’elector mitjà: Fonaments de l’elecció social Teoria, de Roger B. Myerson (1996); Text gratuït disponible a Internet (fora de pista).
  • wiki.electorma.com: un wiki que té els diferents mètodes de condorcet i les seves propietats respectives (fora de pista).

>>

Leave a comment

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *