Formulació general:

Let E {\ Displaistyle mathbb {e}}

un espai vectorial. Un problema d’optimització convex és minimitzar una funció convexa F: E → R ¯: = R ∪ {- ∞, + ∞} {DisplayStyle f: mathbb {e} a {{bbbb {r}}} : = mathbb {r} tassa {- infty, + infty}}

f: mathbb {e} a bar {r}: = R tassa {- infty, + infty}

a e {\ dispishistyle hbb {e}}

mathbb {e}

, el que està escrit en una de les maneres següents:

inf x ∈ e f (x) o inf {f (x): x ∈ e} o inf f (e) o {inf f (x) x ∈ E. {DisplayStyle inf _ {x en mathbb {e, \, f (x) quad {mbox {o}} quàf \ inf \ {f (x): x Mathbb {e}} quad {mbox {o}} quàdreu inf \, f (mathbb {e}) quad {mbox {o}} quadrat {{comence {array} {l} inf, f (x) x en mathbb {e}. End {Array}} dreta.}

INF_ { x en \ mathbb {e}}, f (x) quad {o} quad \ inf \} \} \ \ \} quad { o} quad, f (mathbb {e}) quad \ tx {o} quàdruple esquerra {comencen {array} {l} inf \, f (x) x en mathbb {e}. End {Array} dreta.

Si noteu

A ≡ Dom ⁡ f: = {x ∈ e: f (x) < + ∞} {displaystyle {mathcal {a}} EQUIV OPERATORNAME {DOM} F: = {X en mathbb {e}: f (x) < + infty}}

{\ mathcal a} \} OperaName {dom} f: = {x en \ thbb {e}: f (x) + infty}

El domini (eficaç) de F {DISPLAYSTYLE F}

f

, el pro La taca és idèntica a la de minimitzar F {Displatstyle f}

f

en un {displaystyle {mathcal {a}}}

{mathcal a}

:

inf x ∈ a f (x). {Displaystyle inf _ {x en {\ mathcal {a}}}, f (x).}

INF_ {X a {mathcal A}}} \, f (x).

si a = ∅ {displaystyle {mathcal {a}} = Varnothing}

{\ mathcal a} = varnothing

, és a dir si f ≡ + ∞ {displaystyle f \ equiv + infty}

F \ equival + infty

, aquesta expressió segueix vigent ja que, per convenció, INF F (∅) = + ∞ { DisplayStyle Inf F (varnothing = + infty}

Infl (varnothing) = + infty

. L’interès de tenir una funció f {div>fque pot prendre el valor + ∞ {displaystyle + infty}

+ infty

és, per tant, introduir restriccions en el problema de la minimització (la solució del problema es veu obligada a estar en un {displaystyle {mathcal {a}}}

{mathcal a}

).

SolutoModifier

Una solució (global) de problemes inf {f (x): x ∈ e} {DisplayStyle inf {f (x): x en mathbb {e} }}

inf {f (x): x en mathbb {e}}

és un punt x ¯ ∈ E {\ Displatstyle {bar {x}} en mathbb {e}}

bar {x} en \ hbb {e}

tal que

∀ x ∈ e: f (x ¯) ≤ f (x). {DisplayStyle Forell, x en mathbb {e}: quad f ({bar {x}}) leq f (x).}

Forell, x en mathbb {e}: quàdf (bar {x}) leq f (x).

Clarament, si f {displaystyle f}

f

pren el valor – ∞ {displaytyle – infty}

- infty

, a AF (x ¯) = – ∞ {displaystyle f ({bar {x}}) = – infty}

; I si f {displaystyle f}

f

no és idènticament igual a + ∞ {displaystyle + infty}

+ infty

, a AF (x ¯) < + ∞ {displaystyle f ({bar {x}}) < + infty}

f (bar {x}) + infty

.

si e {displaystyle mathbb {e}}

mathbb {e}

és un espai vectorial topològic, x ¯ {Displaystyle {{x}}}

{bar {x}}

és una solució local del problema inf {f (x) : x ∈ e} {displaystyle inf {f (x): x en mathbb {e}}}

inf {f (x): x en mathbb {e}}

si

∃ v Barri de x ¯, ∀ X ∈ V: F (x ¯) ≤ f (x). {DisplayStyle existeix, v ~ {mbox {barri de} ~ {bar {x}}, quàdruple forall, x en v: quad f ({bar {x}}) leq f (x).}

existeix, v ~ mbox {barri de} bar {x}, quàdruple forall, x en v: quàdf (bar {x}) leq f (x).

En la realitat, una solució local és una solució global en el sentit anterior.

Solucions d’un problema d’optimització convexa –

  1. Totes les solucions d’un problema d’optimització convex és convexa.
  2. si f {displaystyle f}
    F

    és estrictament convex, el problema d’optimització convexa té com a màxim una solució.

  3. si e {displaystyle mathbb {e}}
    mathbb {e}

    és un espai vectorial topològic i, si x ¯ {displaystyle {bar {x}}}

    {\bar {x}}{bar {x}}

és una solució local d’un problema d’optimització convex, llavors x ¯ {displaytyle {{x}}}

{\bar {x}}{bar {x}}

és una solució global del problema.

restriccions funcionalsModificador

En lloc de donar un valor infinit al criteri fora del conjunt elegible, Les restriccions es poden especificar explícitament. El problema s’escriu, per exemple, de la següent manera

{INF F (x) x ∈ ca x = bc (x) ⩽ 0, {DisplayStyle es va anar {{Comenceu {array} {l} h, f (x) \ \ \ \ \ \ \ on c \ _} c (x) leqslant 0, end {array}} dreta.}

esquerra {comenceu {array} {l} inf \, f (x) x en c \ tx = b \\ c ( X) Leqslant0, end {Array} dreta.

en què es minimitza una funció f: x ∈ e ↦ f ( x) ∈ r {displaytyle f: x en mathbb {e} mapsto f (x) en \ mathbb {r}}

f: x En \ mathbb {e} mapsto f (x) en r

amb valors finits i el desconegut x ∈ e {\ displaystyle x en mathbb {e}}

x en \ thbb {e}

Must

  • pertany a un conjunt convex c {displaytyle c}
    C

    de e {DisplayTyle \ mathbb {e}}

    mathbb {e}

    ,

  • Comproveu una restricció afecta a x = b {dowstyle ax = b}
    AX = b

    (a: E → F {DisplayStyle A: mathbb {e} a mathbb {f}}

    a: mathbb {e} \ thbb {F}

    és una aplicació lineal entre E {DisplayStyle \ mathbb {e}}

    mathbb {e}

    i un altre espai vectorial F {DisplayStyle Mathbb {f}}

    mathbb {f}

    i b ∈ f {displaystyle b En \ mathbb {f}}

    b en mathbb {f}

    ) i

  • Comproveu un nombre finit de convex Restriccions funcionals donades per una funció C: E → RM {DisplayStyle C: mathbb {e} a mathbb {r} ^ {m}}

    incloent el m {displaytyle m}

    m

    components són convexos i la desigualtat vectorial C (x) ⩽ 0 {displaytyle c (x) leqslant 0}

    c (x) leqslant0

    ha de ser entès component per component (ell és equivalent a la m {displaytyle m}

    M

    restriccions de desigualtat ci (x) ⩽ 0 {displaystyle c_ {i} (x) leqslant 0}

    c_i (x) leqslant0

    per a i ∈] {DisplayTyle i en \!]}

    i en \!]

    ).

El conjunt elegible d’aquest problema és convexa i està escrit

x: = {x ∈ E: X ∈ C, AX = B, C (X) ⩽ 0}. {DisplayStyle X: = \ {X en mathbb {e}: x en c, ~ ax = b, ~ c (x) leqslant 0}.}

X: = \ {X en mathbb {e}: x en c, ~ ax = b, ~ c (x) leqslant0}.

El problema és ben convex, ja que és minimitzar en e {\ DisplayStyle mathbb {e}}

la funció f ~: x ∈ e ↦ f ~ (x) ∈ r ¯ {displaystyle {tilde {f}}: x en mathbb {e} mapsto {e} tilde {f}} (x) a {\ bar {mathbb {r}}}}

tild {f}: x en mathbb {e} mapsto tilde {f} (x) en bar {r}

definit per

f ~ (x) = {f (x) ) Si x ∈ x + ∞ en cas contrari, {displaytyle {tilde {f}} (x) = esquerra {{comence {array} {ll} f (x) & {mbox {si}} ~ x en x \ _ \ \ _ \ \ _ \ \ _ \ \ _ \ \}} }}}}} p>

tild {f} (x) = esquerra {comenceu {array} {ll} f (x) mbox {si} ~ x en x + infty mbox {en cas contrari} end {array} dreta.

que és una funció convexa.

Leave a comment

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *