Una estructura casi compleja J en una variedad diferencial M es un campo de los endomorfismos J, es decir, decir una sección global de la FIBER E ND (TM ) {\ Displaystyle \ mathrm {final} ™}

{\ DisplayStyle \ Mathrm {Fin} (TM)}

, cheque : ∀ x ∈ m, j x 2 = – idt x m {\ Displaystyle \ forell x \ in m, j_ {x} ^ {2} = – \ mathrm {id} _ {t_ {x} m}}

{\ mostrarstyle \ forell x \ in m, j_ {x} ^ {2} = - \ mathrm {id} _ {t_ {x} m}}

Una variedad diferencial con una estructura casi compleja se llama una variedad casi compleja.

teorema: la existencia de una estructura casi compleja J en una variedad diferencial M implica que M es de par de dimensiones, vamos a decir 2n. Además, hay una sola orientación en M tal como … Entonces, para que exista una estructura casi compleja, la variedad debe ser de pareja y dimensión orientada. Pero esta condición sola no es suficiente: teorema: la existencia de una estructura casi compleja en una variedad diferencial de dimensión de pareja orientable es equivalente a la reducción del grupo estructural de la fibra tangente de GL (2 N, R) {\ DisplayStyle \ Mathrm {gl} (2n, \ mathbb {r})}

{\ displaystyle \ mathrm {gl} (2n, \ mathbb {r})}

con GL (n, c) {\ mostrarstyle \ mathrm {gl} (n, \ mathbb {c})}

{\ displaystyle \ mathrm {gl} ( N, \ mathbb {c})}

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