Preámbulo: Retorno sobre a elección presidencial francesa

O 6 de maio, François Hollande foi elixido presidente da República Francesa. Para os nosos lectores estranxeiros, primeiro recordemos como funciona unha elección presidencial en Francia. Un pequeno número de candidatos (10 neste caso) de varios bordos políticos foi seleccionado previamente por funcionarios electos locais, un procede entre si a unha elección de dúas torre. En tal voto, organízase unha primeira rolda de votación na que cada elector debe elixir un dos candidatos (ou absterse). Se un dos candidatos recibe a maioría absoluta dos votos expresados (que é raro na práctica), entón este candidato é declarado gañador. En caso contrario, un procede a unha segunda rolda de votación na que os dous candidatos que recibiron máis votos na primeira rolda competirán cara a cara; O candidato que recibe a maior votación na segunda rolda é entón declarada o gañador.

Imos recordar tamén cales foron os resultados das eleccións de 2012. Para simplificar a presentación, só conservaremos os cinco principais candidatos ( que ás veces imos absteriremos pola súa inicial), a saber, François Bayrou (b), François Hollande (H), Marine Le Pen (L), Jean-Luc Mélenchon (M) e Nicolas Sarkozy (s). Os resultados da primeira rolda foron os seguintes:

  1. Holanda (31%)
  2. Sarkozy (28%)
  3. le pen (19%)
  4. Mélenchon (13%)
  5. Bayrou (9%)

Ningún dos candidatos que superaron o 50% dos votos, hai así Tivo unha segunda rolda contra Holanda a Sarkozy, cuxos resultados foron:

  1. Holanda (52%)
  2. Sarkozy (48%)

JPEG - 32,4 KBFrançois Hollande Hollande, o candidato elixido pola xente.

Ao final, foi Holanda que foi elixido presidente.

Imos ser un pouco máis curiosos e preguntar que podería ser os resultados da outra cara a caras imaxinables. Ademais da segunda rolda H-S que realmente tivo lugar, habería outras 9 posibilidades: B – H, B – L, B – M, B – S, H – L, H – M, L – M, L – S e M – S. Obviamente, nunca sabemos con certeza o que terían estas segundos torres ficusias; Non obstante, para crer nos institutos de enquisas, os resultados serían bastante seguros:

  • Bayrou Bat Holland 51 – 49;
  • Bayrou bate a pluma 74 – 26;
  • Bayrou bat Mélenchon 75 – 25;
  • Bayrou Bat Sarkozy 55 – 45;
  • Holanda Beats Le Pen 65 – 35;
  • Holanda Bat Mélenchon 80 – 20;
  • Le Pen bat Mélenchon 53 – 47;
  • Le Pen é golpeado por Sarkozy 32 – 68;
  • Mélenchon é batido por Sarkozy 36 – 64.

Sintetizamos todo isto en forma de “diagrama de preferencias binarios” a continuación, onde:

  • Cada candidato está representado por unha posición separada;
  • Entre cada par de candidatos, hai unha frecha que apunta cara a parte dos dous que tería por alto a cara a cara (descoidamos a posibilidade dun ex é dicir);
  • en cada frecha, indicamos a puntuación (en porcentaxe) pola que gaña o gañador da cara a cara a cara.

Diagrama de preferencias binarias para as eleccións presidenciais

O que poderían dar a segunda torres imaxinables entre os cinco principais candidatos nas eleccións presidenciais francés de 2012 ( As frechas apuntan aos vencedores).

JPEG - 28.4 KB François Bayrou Bayrou, o candidato quería pola xente?

Un descubrimento de folgas: François Bayrou derrotaría a calquera dos seus oponentes na segunda volta! Como, na situación histórica, non foi cualificado, obviamente non foi elixido, pero varios editoriais subliñaron que había unha forma de paradoja … non sería lóxico, de feito, un candidato xeralmente preferido a calquera outro ser considerado o favorito de todos?

Filosofía do criterio de condorcet

Declaración do criterio

JPEG - 42.3 ko Nicolas de Condorcet Retrato de Condorcet Nicolas de Jean-Baptiste Greuze.

Foi en todo caso a opinión de Nicolas de Condorcet, erudito francés do século XVIII, que foi un dos pioneiros do estudo matemático da democracia. Introduciu as seguintes definicións (que adaptamos aquí en linguaxe moderna):

Definicións (Condorcet Winner; Criterio de Condorcet)

Se, entre os candidatos a unha elección, hai quen, enfrontado a calquera Outros, é preferido por maioría dos electores, entón este candidato chámase gañador Condorcet.

Dise que un método electoral satisfai o criterio do concorceto cando, cando hai un vencedor de Condorcet, sempre é que este método declara o gañador (sempre que os electores votaron segundo as súas preferencias xenuínas ).

Primeiro de todo é necesario unha auditoría: estamos falando do vencedor de Condorcet coma se fose único, pero é que o caso? A resposta é “SI”:

Teorema (singularidade do ganador Condorcet)

Non pode haber máis que un gañador de condorcet cunha elección.

Demostración

Imaxina unha situación na que habería dous gañadores de condorcet (polo menos), chamados X e Y. Dende que X é un gañador de Condorcet, supera as importacións dos seus competidores diante -Face-to-Face, polo que, especialmente Y. Pero do mesmo, xa que hai un vencedor de Condorcet, debe derrotar x cara a cara … ou a cara a cara entre X e Y, obviamente, só pode ter só Un gañador: polo que é realmente imposible que hai máis dun gañador de Condorcet.

A tese de Condorcet era que, para que un método electoral sexa realmente xusto, debe satisfacer a Criterio homónimo. Citaremos o gran home:

pode resultar do xeito de votar nas eleccións ordinarias unha decisión realmente contraria á pluralidade. Deste xeito, débese substituír a esta forma aquela na que cada votación, expresando a orde segundo a que coloca aos candidatos, pronunciaría tanto a preferencia respectiva que lles dá. Cando desexa escoller o candidato máis digno, será suficiente que o sistema non implique contradición polo candidato que merece preferencia por todos.

Condorcet optar ao noso método unincominal con dúas voltas, xa que o exemplo de Bayrou mostra que non satisfai o seu criterio. Pero antes de ir máis lonxe, debe explicarse cales son as xustificacións teóricas sobre a tese de Condorcet.

Xustificación matemática do criterio de Condorcet

Se leu o meu artigo anterior, probablemente lembre que un gran problema da teoría matemática das eleccións é o seguinte: Os electores ás veces teñen interese en “voto estratéxico” expresando unha falsa opinión que traería o resultado da votación para ser mellor para eles que o. Que tería dado sincero Sufragio! No caso do voto unincominal con dúas torres que estabamos falando no preámbulo, un exemplo típico é o que se chama o “voto útil”. Imaxina e o día antes de que as primeiras enquisas roldas dan a Sarkozy ao chumbo, seguido pola pluma e Holanda ao cóbado a cóbado, e moito máis lonxe Mélenchon. Considere un elector ficticio que é un gran fanático de Mélenchon, mestúrase en Holanda, non lle gusta a Sarkozy e odia a pluma. Este elector di: “Se voto a Mélenchon, non será suficiente para cualificalo para a segunda rolda de todos os xeitos; Doutra banda corro o risco de ver unha segunda rolda entre os dous candidatos que me gustan. Doutra banda, por votación de Holanda, diminuíu as posibilidades dunha segunda rolda de Sarkozy – Le Pen e eu promociono a eliminación do meu candidato odiado. Así que teño interese en votar Holanda “.

Pero cando teñamos en conta este fenómeno de votación estratéxica, o vencedor de Condorcet (se hai un) pode organizar para ser elixido con certeza. (En calquera caso, en o método unincominal con dúas roldas).
De feito, imaxine que hai un vencedor de Condorcet chamado X, e supoña que as enquisas predicen a vitoria doutro candidato. Como X é un vencedor de Condorcet, hai unha maioría dos electores que o prefiren a Y. Esta maioría pode entón consultar e dicir “imos votos por X desde a primeira rolda; Por iso, terá a maioría dos votos sobre o seu nome e será elixido, que máis interesante para nós! “Por suposto, isto non significa que todos os electores desta maioría teñen X para o candidato preferido. Pódese imaxinar que un número substancial deles prefiren un terceiro candidato Z, e pode ser tentado a facer Win Z coa axuda de Os votantes antigos que tamén prefiren Z a X … pero apenas perde, porque X sendo un vencedor de Condorcet, tamén hai unha maioría (pero non composta polos mesmos electores, por suposto) que prefire X a Z; se Z se fai Demasiado perigoso nas enquisas, é a maioría que vai entón ligar a votar X para evitar a elección de Z!

Entón, un método satisfactorio que o criterio de Condorcet ten esta vantaxosa que os electores non teñen que cavarlle Brains para saber se o seu voto está ben calculado: con tal método de feito, se hai un gañador de Condorcet, será necesariamente elixido.

Outra calidade de métodos que satisfán o criterio de Condorcet é o seguinte: Mentres os métodos convencionais (incluídos os métodos A, B, C, D e E do artigo anterior) están suxeitos a un fenómeno de “voces de dispersión” cando o número de candidatos faise xenial, o fenómeno que pode levar a un resultado irrelevante, o resultado dun método que satisfaga o criterio de condorcet non cambia cando retiramos ou engadimos “Candidatos” pequenos “:

Teorema (indiferenza a pequenos candidatos)

  1. Se comezamos a partir dunha situación na que se conquistan os candidatos Condorcet e un ou máis dos outros candidatos a partir da retirada do Elección, entón o gañador do condorcet inicial segue sendo o gañador de Condorcet despois desta retirada.
  2. Viceversa, se compartimos unha situación na que un candidato é conquistador de Condorcet e introdúcense un ou máis novos candidatos a cada un do que o O gañador inicial é preferido cara a cara, entón o gañador de Condorcet inicial segue sendo o gañador de Condorcet despois desta adición.

Demostración

A retirada ou a adición dun candidato non cambia as preferencias binarias dos votantes entre os outros candidatos. Para o punto I, xa que o noso ganador de Condorcet inicial inicialmente vencer a todos os seus oponentes na cara a cara, polo que queda o caso se un ou máis dos seus oponentes retirouse. Para o punto II, o noso vencedor de Condorcet inicial segue a superar a todos os seus opositores iniciais, e asumimos que tamén estaba superando aos seus novos adversarios, para que sexa sempre gañador de Condorcet na nova situación.

Nota Por outra banda, se o gañador do condorcet prospectivo está en certo sentido, un inevitable vencedor, é como non necesariamente o que é realmente o favorito da xente (no sentido de que mencionamos No artigo anterior, é dicir, medindo a felicidade total que este candidato traería ao público se elixido). Así, se hai só dous candidatos X e Y, e que o 51% dos electores prefiren un pouco x e o 49% dos electores prefiren moi en gran medida a X, é X que será elixido cando queremos dicir que é máis ben onde representa a vontade das persoas. Dito isto, este fenómeno de “ditadura maioritaria”
non está directamente relacionado co criterio de condorcet: é de feito un vicio inherente á democracia,
como xa incluído Kant.

Polo momento, falamos moito sobre a filosofía e algunhas matemáticas (e ata menos investigación!). Pero esta introdución era necesaria para entender por que o criterio de condorcet é un obxecto matemático natural e importante. Na segunda parte deste artigo, agora falaremos de investigacións moito máis recentes que xira en torno a este criterio.

A paradoja de Condorcet realmente existe?

o paradoxo Condorcet

O criterio de Condorcet naturalmente nos leva a falar sobre a paradoja Condorcet, que xa atopamos no artigo anterior. Este paradojo afirma en substancia que non hai necesariamente un gañador de condorcet:

Paradox Condorcet (1785)

En canto hai polo menos 3 candidatos , hai situacións nas que non hai ganador de condorcet.

manifestación

Supoñamos que hai polo menos 3 candidatos e escolle tres candidatos particulares entre Os chamados X, Y e Z. Imaxinamos que todos os electores prefiren X, Y e Z a todos os outros candidatos, polo que ningún destes outros candidatos non pode ser conquistador de Condorcet. Agora podemos imaxinar que o 40% dos electores teñen a orde de preferencia “x entón y entón z”, 35% “y entón z entón x” e 25% “z e despois x entón y”. Entón o 65% dos electores prefiren X a Y (polo que non hai un gañador de Condorcet), o 75% prefire Y a Z (polo que Z non é un gañador de Condorcet) e 60% prefire z a x (entón x non é un condorcet gañador): Ningún candidato é, polo tanto, conquistador de Condorcet.

Con todo, vimos no preámbulo un caso de real Elección con nada menos que 5 candidatos nos que hai realmente un vencedor de condorcet! Isto suxire que podería existir un fenómeno que prohibise a paradoja de Condorcet na práctica, porque as situacións políticas realistas verificarían algúns supostos particulares baixo os cales A paradoja é imposible. Nos seguintes parágrafos, presentaremos diferentes modelos de preferencias políticas e veremos se permiten ou non a aparición da paradoja Condorcet.

Condorcet Paradox nun taboleiro de xadrez político

Introduciremos aquí unha modelización moi realista das preferencias políticas dos electores que chamaremos a modelización polo taboleiro de xadrez político, cuxa idea é simplemente en xeral, Estamos votar para o candidato cuxas posicións caen en canto ás nosas opinións. Suponse que hai un “taboleiro de xadrez político” abstracto (o que permite falar de “distancia política”) sobre a que se poden colocar os candidatos, así como os electores, como as preferencias de cada votante son o candidato que é o máis próximo ao máis afastado.

Pódese esperar que con tal modelaxe, nunca hai unha paradoja de Condorcet … pero este non é o caso. Supoña que o taboleiro de xadrez político corresponde a un taboleiro de xadrez real (cuxas caixas miden, por exemplo, 5 cm), onde se coloca a un candidato X na caixa B7, un candidato Y na caixa F7, un candidato z en E4 e un candidato C2 .. Imaxinamos que o electorado está dividido en catro grupos de varios tamaños, cada un dos cales ten exactamente a mesma posición que un dos candidatos: 34% dos electores están a nivel de X, 26% a nivel de y , 18% de Z e 22% W. As distancias entre os candidatos son entón os indicados no debuxo a continuación, de xeito que as seguintes preferencias para os electores (“x > y” significado “x prefírese a y “):

O exemplo do taboleiro de xadrez

quí, á esquerda, unha política Configuración do taboleiro de xadrez tal que, se hai 34% dos electores en X, 26% en y, 18% en Z e 22% en W, e que cada elector prefire os candidatos de que é máis próximo, entón ningún candidato é o Condorcet Gañador: á dereita, o diagrama de preferencia binaria correspondente.

  • x > y > z > para o 34% das eleccións Rs;
  • y > z > x > w para 26% dos votantes;
  • w > z > x > Y por 22% de electores;
  • z > w > y > x para o 18% dos votantes.

Entón, nesta configuración, x non é un gañador de condorcet (porque é golpeado por z nun 66%) nin y (golpeado por x a 56%), nin z (golpeado por y a 60%), nin w (golpeado por z ao 78%): polo que temos paradoja de Condorcet!

os teoremas da mediana votante

No exemplo do taboleiro de xadrez, fixemos unha etapa política de dimensión 2, é dicir con 2 coordenadas (unha para as columnas e outra para as liñas). Non foi unha coincidencia! Porque se o taboleiro de xadrez político ten só unha dimensión, pódese demostrar que aínda hai un gañador de Condorcet:

Teorema (primeiro o teorema do votante mediano; Black 1958)

cando o taboleiro de xadrez político é un eixe graduado (que xeralmente interpretamos como posicionamento político do “máis esquerdo” cara ao “máis dereito”), sempre hai un gañador de condorcet.

para demostrar este teorema, nós Primeiro introducirá unha definición que será útil para nós na proba:

Definición (perfil de preferencia en λ)

Dise que un elector nun perfil de preferencias en λ (ler “lambda” ) Cando, cando se viaxa a lista de candidatos desde a esquerda cara á dereita cara á dereita, a preferencia deste elector sobe ata alcanzar o seu candidato favorito, despois descende. (Posiblemente, o candidato preferido pode ser o máis esquerdo ou o dereito ao dereito de todos; o importante é que nunca se volva despois de baixar).

Por exemplo, se asumimos que os candidatos do presidencial eleccións de elección de esquerda a dereita segundo a orde “M, H, B, S, L”, entón as preferencias “B > H > s > the > m “ou” l > s > B > H > M “son perfís en λ, pero non” H > m > s > b > l, desde tal unha preferencia cae entre H e B antes de subir entre b e s.

Demostración do primeiro teorema do elector medio

o primeiro O punto é observar que, cando o taboleiro de xadrez político é un eixe graduado, todos os electores teñen un PR Ofil preferentemente en λ. De feito, considere calquera elector.Cando pasamos polo taboleiro de xadrez político de esquerda a dereita, comezamos a achegarse a este elector antes de afastarse, de xeito que as preferencias do votante aumenten (sempre que quedamos á esquerda que este elector) antes de descender (unha vez que estamos Máis dereito): isto corresponde a un perfil de preferencia en λ. (Se ningún candidato está situado exactamente a mesma posición que o elector, será necesario ver as distancias precisas para saber se o candidato favorito deste elector é o que está situado inmediatamente á esquerda ou inmediatamente á súa dereita, pero no Dous casos temos un perfil en λ).

Agora probamos o teorema. Para evitar os problemas de marcar, supoña que hai un número impar de votantes. Cada un destes electores ten un candidato favorito. Imaxina que pedimos a cada elector a escribir o nome do seu candidato favorito a un boletín informativo e clasificou os boletíns obtidos do candidato máis esquerdo ao candidato á dereita e imos chamar a X o candidato que está no Boletín candidato situado no medio de Este ranking. Afirmo que X é un vencedor de Condorcet. De feito, considere un candidato situado, por exemplo, máis que X (para un candidato á esquerda, sería suficiente para invertir “dereito” e “esquerda” no resto). Como X está no medio da nosa clasificación de boletíns, hai unha maioría absoluta de boletíns que están en nome de X ou un candidato máis esquerdo que X, o que significa que hai unha maioría absoluta dos electores cuxo candidato preferido é X ou un candidato situado máis á esquerda que X. A continuación, considere un votante, do que chamamos Z o candidato preferido (Z que pode ser o mesmo que X). Sabemos a través do parágrafo anterior que o noso elector ten un perfil de preferencias en λ, polo que cando se afasta de Z á dereita, as preferencias do elector só diminuíron. Pero aquí x é polo menos tan correcto como Z e Y é aínda máis que x, polo que cruzaremos aí máis tarde a X durante esta remotación; Polo tanto, o noso elector prefire a X a Y. Como é o mesmo para unha maioría absoluta dos electores, isto significa que X é predominantemente preferido a Y, e como podemos facer o mesmo razoamento para todos os posibles alí, proba que X é un condorcet gañador. Teña en conta que esta demostración mostra que o teorema permanece válido en canto todos os electores teñan un perfil de preferencias en λ.

a falta Deste primeiro teorema do elector mediano (e modelado por taboleiro de xadrez político en xeral) é que considera que a única calidade dos candidatos que xurdiría aos votantes é o seu posicionamento político. Non obstante, con posición política igual, algúns candidatos poden ser “mellores” ou “peores”, por exemplo debido ás súas calidades intelectuais ou carismáticas. Un modelo máis fino é, polo tanto, o seguinte: por unha banda, hai un eixe graduado no que se colocan os candidatos e os electores e, por outra banda, tamén está asociado a cada candidato un “valor intrínseco”. Cada elector entón calcula aos distintos candidatos unha “puntuación” igual ao valor intrínseco do candidato menos a distancia do candidato e clasificou os candidatos por puntuación descendente: un exemplo é dado no debuxo a continuación.

eixe político con valores intrínsecos

Aquí tes un exemplo tendo en conta a colocación de Candidatos sobre o eixe político “esquerda – dereita” eo valor intrínseco dos candidatos. Neste exemplo, hai cinco candidatos manchados por puntos, o valor intrínseco de cada un deles indicado entre parénteses. Se consideramos un elector situado na posición “E”, este elector entón dá unha puntuación igual a 9 (valor) – 5 (distancia) = 4, en H unha puntuación de 8 – 1 = 7, a b unha puntuación de 5 – 1 = 4 e do mesmo a S e L das puntuacións respectivas de 5 e 3. Polo tanto, a orde das preferencias deste elector é “H > m > S > B > L “- que non é un perfil en λ.

Ben, neste modelo, aínda estamos seguros da existencia dun vencedor de condorcet:

teorema (segundo teorema do votante mediano; Roberts 1977)

Se os candidatos e os electores colócanse no mesmo eixo graduado por unha banda, a cada candidato está asociado a un valor intrínseco no outro, e que as preferencias de cada elector están determinadas pola diferenza “valor intrínseco – distancia do candidato “, entón sempre hai un vencedor de Condorcet.

Para demostrar este teorema, tamén estamos empezando aquí introducindo unha definición:

Definición (preferencias arquivadas)

que se dan aos candidatos clasificados de esquerda a dereita e Os electores tamén se clasificaron de esquerda a dereita, di que a configuración das preferencias é impedida se é imposible atopar un candidato X á esquerda que outro candidato e un elector ten máis á esquerda que outro elector B que prefire x Pero B prefire a X a Y (noutras palabras, que son tales que o elector da esquerda prefire o candidato correcto e o elector dereito ao candidato á esquerda).

Demostración do segundo teorema do elector medio

O primeiro punto é notar que, baixo as hipóteses do teorema, a configuración das preferencias é privada. Considere dous candidatos X e Y, contigo máis que X. Dicir que a configuración das preferencias é descrita significa que como un elector ficticio móvese de esquerda a dereita sobre o eixe político, non pode non unha preferencia “y > x “a unha preferencia” x > y “; Para demostrar que, basta establecer que a diferenza “puntuación X Puntuación” só pode aumentar cando imos de esquerda a dereita. Agora, nesta diferenza en Puntuación, o único que cambia dun elector a outro é a parte da puntuación que depende da distancia: a que depende da puntuación é a mesma. Así que, basta demostrar que a diferenza “a distancia de Y – a distancia de X” só está diminuíndo cando se vai desde a esquerda á dereita. Entón, que pasa cando imos da esquerda á dereita? Ao principio, sempre que aínda quedamos de X, cada paso cara á dereita máis preto como X a partir de y, e, polo tanto, a diferenza “a distancia a Y – a distancia a X” non varía. Entón, cando está entre X e Y, cada paso cara á dereita non só diminúe a distancia a Y, senón que tamén aumenta a a X, de xeito que a diferenza “a distancia a Y – a distancia a X” diminúe. Finalmente, máis aló de Y, cada paso cara á dereita móvanos tantos x como de y e, polo tanto, de novo a diferenza de distancias permanece constante. Deste xeito, temos unha configuración de preferencias declaradas.

Agora probamos o teorema. Para evitar os problemas de ex æquo, supoña que hai un número impar de votantes. Se clasificamos estes electores de esquerda a dereita sobre o eixe político, entón hai un que se atopa no medio deste ranking, que chamaremos ao “elector mediano”. Digo que as preferencias maioritarias son exactamente as mesmas que as deste elector mediano e, polo tanto, en particular o candidato favorito do elector medio é un vencedor de Condorcet.
De feito, supoñen que entre dous candidatos X e Y, o elector medio prefire x; Para corrixir as ideas, digamos que é máis que X (doutro xeito, inverte “dereito” e “esquerda”). Polo tanto, segundo o resultado intermedio anterior, todo máis nos electores esquerdo que o elector medio tamén prefire x a Y, polo que hai unha maioría dos electores que prefiren X a Y, o que queriamos demostrar. Teña en conta que esta demostración mostra que o teorema permanece válido axiña que a configuración das preferencias é privada.

Ademais de demostrar a existencia da existencia da existencia da existencia de A existencia da existencia da existencia do conquistador de Condorcet, a evidencia anterior dille o que é este gañador: é o candidato favorito do elector situado “no medio” de todo sobre o eixe das preferencias (de aí o nome de “Teorema” do elector mediano “). Un fenómeno similar ocorreu para o primeiro teorema do elector mediano, onde o resultado da elección correspondía á elección máis central entre os candidatos favoritos dos distintos compoñentes. Unha moral que podemos debuxar é que o criterio de Condorcet promove aos candidatos “centristas” en comparación cos candidatos máis orientados ou extremos Ists. É un comportamento desexable? As opinións difiren sobre esta pregunta:
para algúns, para promocionar os centristas riscos repugnantes aos electores que terían a impresión de que nunca se tome en conta e promover a política do consenso MOU a expensas de máis ambicioso proxectos; Outros, pola contra, cren que unha política centrista alcanzaría o debate permitindo que todos poidan navegar un pouco e que a gran estabilidade política sería máis propicio para o establecemento de proxectos a longo prazo.

e Cando non hai ganador de Condorcet?

Os teoremas do elector mediano tenden a indicar que en situacións concretas, teremos a maior parte do tempo un gañador de condorcet, o que a historia das eleccións é realmente corroborante.
Dito isto, a modelaxe puramente unidimensional sobre a que estes teoremas descansan claramente demasiado reducindo, eo exemplo do taboleiro de xadrez móstranos que é só un caso máis complexo para ver a reaparición da paradoja condorcet. Se desexamos aplicar un método electoral que satisfaga o criterio de Condorcet, será necesario dar unha regra para designar o candidato electo cando non hai ganador de Condorcet. Pero que? Esta pregunta comezou a ser estudada só algunhas décadas, especialmente porque antes da invención da informática era practicamente imposible facer o contador dun voto onde os electores indican as súas preferencias entre todos os candidatos. Esta é a investigación sobre este tema que agora falaremos.

O método minimax

imos comezar cun enfoque moi sinxelo. Pódese dicir: “Na base, un gañador de Condorcet é un candidato que leva a cabo máis do 50% contra todos os demais. Se ningún dos candidatos ten éxito, podemos baixar o limiar do 50% para dicir:” Se hai só un dos candidatos que logra alcanzar, por exemplo, un 45% en contra de calquera outro, entón é este candidato que debe ser elixido “”. Noutras palabras, o protocolo é o seguinte: Para cada un dos candidatos, miramos o peor das puntuacións que faría nas súas distintas faces cara a caras, entón declaramos que os candidatos cuxa peor puntuación é a mellor. Este método chámase un método minimax, porque parece quen é o mellor (“max”) no situación onde é o menos bo (“mini”).

Entón, para o exemplo do taboleiro de xadrez presentado anteriormente (onde non hai ganador de condorcet), a peor derrota de x ten lugar contra z por 66 %, a peor derrota de Y contra X nun 56%, a peor derrota de Z contra Y nun 60% e a peor derrota de W contra Z por 78%. O máis lixeiro destas peores derrotas é a de Y, que é, polo tanto, o vencedor Minimax.

Parece natural! Por desgraza, este método abre o camiño a unha forma de “manipulación” (sinónimo peyorative de “voto estratéxico”) particularmente perigoso. Supoña de feito que no exemplo do taboleiro de xadrez previamente abordado, temos máis que un grupo V composto por “” Anarquistas “. Estes anarquistas son relativamente numerosos xa que constitúen o 40% da poboación total, de xeito que temos a seguinte distribución global: x 20%, y 16%, Z 11%, W 13%, V 40%. Non obstante, os anarquistas son unánimes contra eles fóra do seu grupo: así como os partidarios de X e Y a partir de Z o de W clasify V Última posición na súa orde de preferencias. Aquí é onde os anarquistas teñen unha gran idea de tomar o poder a pesar deste importante impedimento. Din que “en vez de votar dun xeito equilibrado entre os nosos competidores, organizaremos para amplificar as peores derrotas tanto como sexa posible”.

Para iso, os electores do grupo V divídense en Tres subgrupos (por outra banda, aínda teñen só un candidato):

  • subgrupo $ v_1 $ conta 18% de todos os electores e votar “V > z > y > x > w “;
  • O subgrupo $ V_2 $ ten 12% de votantes e voto “V > y > x > z > w “;
  • o subgrupo $ V_3 $ conta 10% votantes e vota” V > x > z > y > w “.

Con esta estratexia, temos os seguintes votos:

  • x y > z > w > V por 20% dos electores;
  • v > x > y > z > w por 18% dos votantes;
  • y > z > x > w > v para 16% dos votantes;
  • w > Z > x > y > V para 13% dos votantes;
  • v > z > x > Y > w por 12% dos electores;
  • z > w > y > x > V por 11% de electores;
  • v > Y > z > x > w por 10% dos votantes.

Isto leva ao seguinte diagrama de preferencias binarias (dereita):

a manipulación dos anarquistas

Aquí están os diagramas correspondentes ao exemplo do taboleiro de xadrez con anarquistas, á esquerda no caso de que os anarquistas voen sinceramente (supoñemos que as preferencias dos anarquistas entre x, y e z son aleatorios e W aínda é o seu candidato odiado), e á dereita coa manipulación que explicamos (os cambios están indicados en vermello). No primeiro caso, o vencedor Minimax está aí; No segundo, é V, a quen son todos os outros candidatos.

Así, as peores derrotas de x, y e z son respectivamente o 62%, o 63% e 64% (respectivamente contra Z, X e Y), a peor derrota de W é do 87% (contra Z) ea peor derrota de V é do 60% (contra calquera dos seus adversarios): é, polo tanto, V que se converte no vencedor Minimax “, Obviamente, os partidarios de X, Y, Z e W entón teñen a oportunidade de aliarse para designar como candidato común e fallar o plan de V, pero dixemos algúns parágrafos superiores á filosofía do criterio de Condorcet Aforre o máximo posible aos votantes os tormentos do voto estratéxico. Por conseguinte, segundo este punto de vista, que o método minimax non é relevante cando non hai ganador de Condorcet.

O método Schulze

Agora estamos a presentar un método Concebido en 1997 por un estudante de física alemá chamado Markus Schulze, que non ten a discapacidade co método MINIX. A filosofía detrás do método Schulze é a seguinte: “Na parte inferior, unha elección, nunca é un truco para evitar o inconveniente das revolucións: consultamos aos compoñentes a saber quen finalmente gañaría a revolución sen ter que bater!”.

O que se chamará unha “revolución” aquí, é cando un gran número de electores acordan derrubar o presidente e substituílo por outro, sobre cuxa identidade acordaron antes. Neste sentido, é fácil comprender o criterio de Condorcet: se un candidato (Call-It) é o gañador de Condorcet, calquera outro candidato que acontecería ao poder sería rápidamente invertido pola maioría que prefire X a este candidato, mentres que unha vez x estará no poder que nunca haberá unha maioría para derrotalo, que fará que o seu asento sexa moito máis estable.
Ao final, xa que rápidamente temos transicións de N ‘importacións que a X e raramente x transiten a calquera, é X que estará no poder a maior parte do tempo. (Teña en conta que aquí non afirmamos que é imposible derrocar a un presidente sen ter unha maioría ligada contra el: Nós só dicimos que isto é moito máis fácil facelo axiña que teñamos algunhas persoas máis para liderar a revolución) .

Vexamos o que ocorrería en tal marco para o exemplo do taboleiro de xadrez con anarquistas. As revolucións tenden a derrocar aos presidentes na dirección indicada polas frechas e moito máis raramente na dirección oposta. Polo tanto, ao final dalgunhas revolucións, o presidente é necesariamente X, Y ou Z, desde unha vez que chegamos a un destes tres non hai ningunha maneira nas frechas que traen W ou V! Entón, nós vemos xa (como parecía natural para nós) que non é V que as revolucións traerán ao poder a maior parte do tempo.

Continuamos. Sabemos que será esencialmente x, y e z que compartirá o poder, pero en que proporcións? Se seguimos mirando as frechas sobre estes tres candidatos, temos o diagrama esquerdo a continuación:

O método Schulze contra a manipulación dos anarquistas

Estes diagramas explican o que ocorre cando o método de Schulze aplícase á situación onde os anarquistas intentan manexar o seu manexo. O grupo xefe do diagrama de preferencias binarias nesta situación está composto por tres candidatos {x, y, z}: en particular V é eliminado xa que foi golpeado por todos os outros candidatos. Nun segundo paso, miramos o diagrama das preferencias binarias entre estes tres candidatos. Para levar un gran grupo máis pequeno, eliminamos a frecha máis débil. O novo diagrama ten un hombre que consiste no único candidato X: polo que é o que é declarado gañador polo método.

Agora a idea é que de forma similar, foi Moito máis difícil de facer unha revolución con menos do 50% das persoas que máis do 50%, é moito máis difícil facer unha revolución cun 62% que cun 63% ou 64%. ..Entón, borraremos a marcada frecha “62%” para significar que esta revolución é rara e chegamos ao diagrama correcto anterior. Ao final dalgunhas revolucións, é necesariamente X que é Presidente: A idea do método Schulze é dicir que é o que debe ser proclamado vencedor da elección!

Agora que explicamos o principio do método Schulze, imos acabar dando unha definición rigorosa e asegurarse de que dá un único gañador en todos os casos. Simplemente supoñemos que nunca hai dous candidatos exactamente ligados ou dúas frechas que teñen exactamente a mesma forza no diagrama de preferencias binarias, que sempre é o caso na práctica cando hai moitos electores.

Teña en conta que neste parágrafo, ás veces satisfaremos os diagramas de preferencias binarios incompletos, é dicir, onde algúns candidatos non están conectados por frechas.

Definición (grupo de cabeza)

nun diagrama de preferencias binarias (posiblemente incompleta), Dise que un candidato (chamado aquí X) pertence ao grupo líder cando, a partir de calquera outro candidato, é posible seguir un camiño de acordo coas frechas que comience a partir deste candidato e remata en x.

Aquí é importante notar que se o diagrama está completo, o headGroup nunca está baleiro:

Teorema

Nun diagrama de preferencia binaria completa, o hombre non está baleiro.

manifestación

Presentaremos unha forma de construír o grupo de cabeza que mostra que este nunca está baleiro. Vou chamar aquí “HeadGree” calquera grupo de candidatos como, cando partimos de calquera candidato que non estea neste grupo, podemos chegar a calquera candidato ao grupo seguindo as frechas.

Primeiro observo que o grupo De todos os candidatos é unha herba de cabeza, xa que non hai candidato que non pertence a este grupo!

Agora, digo o seguinte: cando teñas un alto contido,

  • ou este UPGROUP é o verdadeiro grupo de cabeza;
  • ou, entre este actualizado, podemos seleccionar un certo número de candidatos non cero que forman un concepto estrictamente menor.

De feito, supoña que o noso grupo principal non é o verdadeiro headgroup. O único xeito que isto ocorre é que hai polo menos un candidato X neste grupo superior ao que non é posible ter éxito a partir doutro candidato Y, que é necesariamente no ongroup, xa que sabemos que podemos levar a calquera candidato do UpGroup de calquera candidato fóra do grupo principal. Agora, selecciono os candidatos do UPGROUP que son tales que, cando comezamos a partir dun destes candidatos, non podemos chegar a X. Este novo grupo non está baleiro xa que contén alí, e é estrictamente menor que o headgroup inicial Xa que non contén X. Digo que este novo grupo aínda é un avó de cabeza. De feito, considere un candidato Z que non está neste novo grupo. Ou este candidato non estaba no noso upgroup inicial, e entón sabemos que podemos ir de Z en calquera punto do noso grupo superior inicial e, polo tanto, especialmente en calquera punto do noso novo grupo. Ou este candidato estaba no noso actual upgroup pero non no novo grupo. Así, o candidato Z, podemos volver ao candidato X seguindo as frechas (por definición do novo grupo). Pero o candidato X, podemos ir a calquera candidato W do novo grupo: De feito, hai unha frecha entre X e W porque o noso diagrama está completo e necesariamente apunta a X a W xa que non hai forma de W a X ! Ao final, demostramos que para calquera candidato Z que non está no noso novo grupo, podemos ir deste candidato a calquera candidato do novo grupo seguindo as frechas, o que significa que o novo grupo é un actualizado.

Imos a Toproup of Head formada por todos os candidatos e, sempre que aínda non atopamos o grupo real, aplique o método anterior para formar grupos de chumbo cada vez máis pequenos, pero non está baleiro. Necesariamente á vez teremos que parar e, naquel momento, o noso actualizo será o verdadeiro grafado segundo a alternativa anterior, e este grupo de cabeza estará ben non baleiro, o que demostra o teorema.

Definición (método Schulze)

a partir dun diagrama de preferencia binaria completa (onde todas as frechas levan diferentes puntuacións), definimos o gañador de Schulze polo seguinte método:

  1. Comezamos dende o diagrama das preferencias binarias para todos os candidatos.
  2. Se hai de feito só un candidato, o que é o gañador e parada.
  3. Se non, miramos ao Grupo Head: Se é estrictamente menor que o conxunto inicial, borraremos a todos os candidatos que non están neste headgroup (así como as frechas sobre eles), eo método é iniciado de novo como se si Non había máis candidatos restantes.
  4. Se, por outra banda, o Grupo Head contén todos os candidatos, as frechas de pequenas puntuacións gradualmente borraranse ata que o líder do diagrama obtido borrando as frechas excluídas polo menos un dos os candidatos (que ocorre necesariamente, porque unha vez todos As frechas serían borradas que non habería ninguén no grupo de cabeza). Naquela época, borraremos a todos os candidatos que non están neste novo grupo de cabeza (así como as frechas relacionadas con eles), eo método é iniciado de novo coma se houbese máis que os candidatos restantes.

Para asegurar que o método conduza á designación dun gañador, queda por verificar que durante o procedemento de eliminación de frechas, non é probable que caia nun grupo de cabeza baleira:

Teorema

Se un ten un diagrama de preferencia binario para varios candidatos (posiblemente incompletos) nos que o Grupo Head contén todos os candidatos, así que borrar unha das frechas non pode traer a unha situación onde o novo grupo de cabeza estaría baleiro .. Polo tanto, cando se comeza a partir dun diagrama de preferencias binarias nas que o grupo de cabeza contén todos os candidatos e que borra as súas frechas un por un, o primeiro momento en que o grupo de cabeza deixa de conter todos os candidatos que dá unha cabeza non baleira Grupo.

Demostración

Demostramos só o inicio da declaración, a seguinte parte “en consecuencia” obtendo inmediatamente. Imos saír dun diagrama de preferencia binario no que o hombre contén todos os candidatos e borrar nunha frecha, que chamamos x o candidato que quedou. Amosaremos que X é necesariamente no novo grupo de cabeza, que, polo tanto, non estará baleiro. Para iso, considere calquera candidato Y e mostre que podemos ir de Y a X seguindo as frechas a pesar do borrado feito. Como, antes do borrado da frecha, o Grupo Head contiña todos os candidatos, entón tivemos un camiño que pasou de Y a X. Pero inevitablemente este camiño non tomou prestado a frecha borrada, xa que esta frecha comeza a partir de X entón, que no noso Camiño X é o punto de chegada! É, polo tanto, que o camiño sempre se pode seguir unha vez que a frecha sexa borrada, o que queriamos.

Dixemos que o interese do método Schulze era evitar manipulacións como a dos anarquistas no exemplo do taboleiro de xadrez. Pódese probar que tal manipulación é imposible con este método:

Teorema (robustez á manipulación)

Supoñamos que hai dous tipos de candidatos: os candidatos “irrazonables” e os candidatos “razoables” (nós Supoña que hai polo menos un candidato razoable e chamado “elector razoable” que clasifica a todos os candidatos razoables ao final da súa orde de preferencias. Entón, se hai unha maioría absoluta de electores razoables e estes electores sinceramente votar, ningún candidato irracional pode gañar co método Schulze.

manifestación

Da definición do método Schulze, simplemente demostra que ningún candidato non razoable pertence ao grupo Head en tal situación. Non obstante, cando partimos dun candidato razoable e a frecha do diagrama das preferencias binarias, conducimos inevitablemente a outro candidato razoable: De feito, a maioría dos votantes razoables aseguran que ningunha frecha poida indicar un candidato razoable a un candidato razoable. Polo tanto, é imposible ter un camiño que deixa un candidato razoable e conduce a un candidato irracional, o que queriamos.

conclusión

o condorcet O criterio para un método electoral democrático, que afirma que sempre debe ser elixido un candidato preferido a calquera outro rostro cara a cara, permite en certa medida evitar os problemas da votación estratéxica.Cando non hai ganador de Condorcet, podemos imaxinar varios métodos “Condorcet” diferentes: entre eles, o método Schulze ten a vantaxe de ter unha simple xustificación heurística e ser máis robusto a algunhas formas de manipulación só, por exemplo, o minimax Método. Este é actualmente un dos métodos de voto máis populares dos teóricos de democracia e úsase por exemplo por desenvolvedores de sistemas operativos gratuítos de Debian – geeks aínda na vangarda do progreso bizarro …; -)

nun Futuro artigo, presentaremos outros métodos orixinais, non necesariamente satisfacer o criterio de condorcet, senón que tamén foron defendidos por teóricos para as súas propiedades matemáticas.

Referencias

  • en Pista azul: The Wikipedia Páxinas “Condorcet Method”, “Condorcet Paradox” e “Schulze Method” (esta última páxina que está sendo en pista vermella).
  • sobre os teoremas do elector medio: fundamentos da elección social Teoría, por Roger B. Myerson (1996); Texto gratuíto dispoñible en Internet (off-pista).
  • wiki.electorma.com: un wiki que ten os diferentes métodos de condoración e as súas respectivas propiedades (off-piste).

Leave a comment

O teu enderezo electrónico non se publicará Os campos obrigatorios están marcados con *