Formulación xeral:

Let e {\ displaystyle \ mathbb {E}}

\ mathbb {E}

Un espazo de vectores. Un problema de optimización convexo é minimizar unha función convexo f: e → r ¯: = r ∪ {- ∞, + ∞} {\ displaystyle f: \ mathbb {e} \ to {\ bar {\ mathbb {r}}} : = \ Mathbb {R} \ infty \}}

f: \ mathbb {E} \ to \ bar {r}: = = R \ vaso \ {- \ infty, + infty \}

en e {\ displaystyle \ mathbb {e}}

\ mathbb {e}

, o que está escrito nunha das seguintes formas:

Inf x ∈ e f (x) ou inf {f (x): x ∈ e} ou inf f (e) ou {inf f (x) x ∈ E. {\ Displaystyle \ inf _ {x \ en \ mathbb {e \ in \, \, f (x) \ quad {mbox {or}} \ quad \ inf \, \ {f (x): x \ in \ mathbb {e} \} \ quad {\ mbox {or}} \ quad \ Inf \, f (\ mathbb {e}) \ quad {mbox {or}} \ quad \ left \ {{\ begin {array} {l} \ Inf \, f (x) \\ x \ in \ mathbb {E}. \ End {array}} \ right}

\ inf_ { x \ in \ mathbb {e}} \, f (x) \ quad \ mbox {or} \ quad \ inf \, \ {f (x): x \ in \ mathbb {e} \} \ quad \ mbox { ou} \ quad \ Inf \, f (\ mathbb {e}) \ quad \ mbox {or} \ quad \ left \ {\ begin {array} {l} \ Inf \, f (x) \\ x \ in \ Mathbb {E}. \ End {array} \ rectual.

Se observas

a ≡ dom ⁡ f: = {x ∈ e: f (x) < + ∞} {\ displaystyle {\ mathcal {a}} \ equiv \ operatorname {dom} f: = \ {x \ in \ en \ mathbb {e}: f (x) < + infty \}}

{\ mathcal a} \ equiv \ operatorname {dom} f: = \ {x \ in \ en \ mathbb {E}: f (x) + \ infty \}

o dominio (eficaz) de f {\ displaystyle f}

f

, o pro A mancha é idéntica á minimizar a f {\ displaystyle f}

f

en {\ displaystyle {\ mathcal {a}}}

{\ mathcal a}

:

Inf x ∈ a f (x). {\ Displaystyle \ inf _ {x \ in {\ mathcal {a}}} \, f (x)}

\ inf_ {x \ in {\ mathcal A}}}} \, f (x).

Se a = ∅ {\ displaystyle {\ mathcal {a}} = \ varnothing}

, é dicir se f ≡ + ∞ {\ displaystyle f \ equiv + infty}

f \ equiv + \ infty

, esta expresión aínda é válida xa que por convención, InF f (∅) = + ∞ {\ Displaystyle \ Inf f (\ varnothing = + \ infty}

\ influencia (\ varnothing) = + infty

. O interese de ter unha función f {\ div>fque pode levar o valor + ∞ {\ displaystyle + \ infty}

+ infty

é, polo tanto, introducir restricións no problema da minimización (a solución do problema está obrigado a ser en {\ displaystyle {\ mathcal {a}}}

{\ mathcal a}

).

SolutionModifier

Unha solución (global) do problema Int {f (x): x ∈ e} {\ displaystyle \ Inf \ {f (x): x \ in \ mathbb {e} \ }}

\ Inf \ {f (x): x \ in \ mathbb {E} \}

é un punto x ¯ ∈ E {\ displaystyle {\ bar {x}} \ in \ mathbb {e}}

\ bar {x} \ in \ en \ mathbb {e}

Tal que

∀ x ∈ e: f (x ¯) ≤ f (x). {\ Displaystyle \ forell \, x \ in \ mathbb {e}: \ quad f ({\ bar {x}}) \ leq f (x)}

\ Forell \, x \ in \ mathbb {e}: \ quadf (\ bar {x}) \ leq f (x)

claramente, se f {\ displaystyle f}

f

toma o valor – ∞ {\ displaystyle – \ infty}

- \ infty

en AF (x ¯) = – ∞ {\ displaystyle f ({\ bar {x}}) = – \ infty}

f (\ bar {x}) = - \ infty

; e se f {\ displaystyle f}

f

non é idónicamente igual a + ∞ {\ displaystyle + \ infty}

+ infty

, en AF (x ¯) < + ∞ {\ displaystyle f ({\ bar {x}}) < + infty}

.

se e {\ displaystyle \ mathbb {e}}

\ mathbb {e}

é un espazo vectorial topolóxico, x ¯ {\ Displaystyle {\ bar {x}}}

{\ bar {x}}

é unha solución local do problema Int {f (x) : x ∈ e} {\ displaystyle \ Inf \ {f (x): x \ in \ mathbb {e} \}}

\ Inf \ {f (x): x \ en \ mathbb {e} \}

Se

∃ V Barrio de x ¯, ∀ x ∈ V: F (x ¯) ≤ f (x). {\ displaystyle \ existe \, v ~ {\ mbox {barrio de} ~ {\ bar {x}}, \ quad \ forall \, x \ in v: \ quad f ({\ bar {x}}) \ leq f (x).}

\ existe \, v ~ mbox {barrio de} bar {x}, \ quad \ forall \, x \ in v: \ quadf (\ bar {x}) \ leq f (x).

En realidade unha solución local é unha solución global no sentido anterior.

Solucións dun problema de optimización convexo –

  1. Todas as solucións dun problema de optimización convexo son convexas.
  2. se f {\ displaystyle f}
    f

    é estrictamente convexa, o problema de optimización convexo ten como máximo unha solución.

  3. se e {\ displaystyle \ mathbb {e}}
    \ mathbb {e}

    é un espazo vectorial topolóxico e se x ¯ {\ displaystyle {\ bar {x}}}

    {\ bar {x}}

    é unha solución local dun problema de optimización convexo, entón x ¯ {\ displaystyle {\ bar {x}}}

    {\ bar {x}}

    é unha solución global do problema.

restrinxos funcionaismodificador

No canto de dar un valor infinito ao criterio fóra do conxunto elixible, As restricións poden ser especificadas explícitamente. O problema está escrito, por exemplo, do seguinte xeito

{InF f (x) x ∈ ca x = bc (x) ⩽ 0, {\ displaystyle \ left \ {{\ Begin {array} {L} \ Inf \, f (x) \\ x \ in C \\ ax = b \\ c (x) \ leqslant 0, \ end {array}} \ right.}

\ esquerda \ {\ begin {array} {L} \ Inf \, f (x) \\ x \ in C \\ ax = b \\ c ( x) \ leqslant0, \ end {array} \ recta dereita.

en que un minimiza unha función F: x ∈ e ↦ f ( x) ∈ r {\ displaystyle f: x \ in \ mathbb {E} mapsto f (x) \ in \ mathbb {r}}

f: x \ en \ mathbb {E} mapsto f (x) \ in \ r

con valores finitos e o descoñecido x ∈ e {\ displaystyle x \ in \ mathbb {e}}

x \ in \ mathbb {e}

debe

  • pertencen a un conxunto convexo c {\ displaystyle c}
    c

    de e {\ displaystyle \ mathbb {e}}

    \ mathbb {e}

    ,

  • Comprobe unha restricción afín a x = b {\ displaystyle ax = b}
    ax = b

    (a: e → f {\ displaystyle a: \ mathbb {e} \ to \ mathbb {f}}

    a: \ mathbb {E} \ a \ mathbb {f}

    é unha aplicación lineal entre e {\ displaystyle \ mathbb {e}}

    \ mathbb {e}

    e outro espazo vectorial f {\ displaystyle \ mathbb {f}}

    \ mathbb {f}

    e b ∈ f {\ displaystyle b \ en \ mathbb {f}}

    b \ in \ mathbb {f}

    ) e

  • comprobar un número finito de convexo Restricións funcionais dadas por unha función C: E → RM {\ displaystyle C: \ mathbb {E} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}
    c: \ mathbb {E } \ to \ r ^ m

    incluíndo o m {\ displaystyle m}

    m

    son a desigualdade de vectores convexa e l C (x) ⩽ 0 {\ displaystyle C (x) \ leqslant 0}

    c (x) \ leqslant0

    debe entenderse compoñente por compoñente (el é equivalente ao m {\ displaystyle m}

    M

    Restricións de desigualdade CI (x) ⩽ 0 {\ displaystyle C_ {I} (x) \ leqslant 0}

    c_i (x) \ leqslant0

    para i ∈] {\ displaystyle I \ in \!]}

    i \ in \!]

    ).

O conxunto elixible deste problema é convexa e está escrito

x: = {x ∈ E: x ∈ c, ax = b, c (x) ⩽ 0}. {\ Displaystyle x: = \ {x \ in \ mathbb {E}: x \ in c, ~ hach = b, ~ c (x) \ leqslant 0 \}.}

x: = \ {x \ in \ en \ mathbb {E}: x \ in c, ~ hach = b, ~ c (x) \ leqslant0 \}.

O problema é ben convexo xa que é minimizar en e {\ displaystyle \ mathbb {e}}

\ mathbb { e}

a función f ~: x ∈ e ↦ f ~ (x) ∈ r ¯ {\ displaystyle {\ tilde {f}}: x \ in \ mathbb {e} mapsto {\ tilde {f}} (x) \ in {\ bar {\ mathbb {r}}}}

\ tild {f}: x \ in \ mathbb {e} mapsto \ tilde {f} (x) \ in \ bar {\ r}

definida por

f ~ (x) = {f (x ) Se x ∈ x + ∞ doutro xeito, {\ displaystyle {\ tilde {f}} (x) = \ esquerda \ {{\ begin {array} {ll} f (x) & {\ mbox {}} ~ x \ in x \\ + infty & {\ mbox {doutro xeito}},} {array}} \ right.}

\ tild {f} (x) = \ esquerda \ {\ begin {array} {ll} f (x) \ mbox {se} ~ x \ in x \\ + infty \ mbox {doutro xeito} end {array} \ right.

que é unha función convexa.

Leave a comment

O teu enderezo electrónico non se publicará Os campos obrigatorios están marcados con *