Preámbulo: retorno de las elecciones presidenciales francesas

El 6 de mayo, François Hollande fue elegido presidente de la República Francesa. Para nuestros lectores extranjeros, primero recordemos cómo funciona una elección presidencial en Francia. Un pequeño número de candidatos (10 en este caso) de varios bordes políticos ha sido seleccionado previamente por los funcionarios electos locales, uno se procede entre sí a una elección de dos torres. En tal voto, se organiza una primera ronda de votación en la que cada elector debe elegir a uno de los candidatos (o abstenerse). Si uno de los candidatos recibe la mayoría absoluta de los votos expresados (lo que es raro en la práctica), entonces este candidato es declarado ganador. De lo contrario, uno procede a una segunda ronda de votación en la que los dos candidatos que recibieron más votos en la primera ronda compiten en cara a cara; El candidato que recibe la mayor votación en la segunda ronda se declara entonces el ganador.

Recordemos también lo que fueron los resultados de las elecciones de 2012. Para simplificar la presentación, solo conservaremos los cinco candidatos principales ( que a veces resumen por su inicial), a saber, François Bayrou (B), François Hollande (H), Marine Le Pen (L), Jean-Luc Méloncon (M) y Nicolas Sarkozy (s). Los resultados de la primera ronda fueron los siguientes:

  1. Holanda (31%)
  2. Sarkozy (28%)
  3. le pluma (19%)
  4. Méloncon (13%)
  5. Bayrou (9%)

No tiene ninguno de los candidatos que han excedido el 50% de los votos, hay así tenía una segunda ronda contra Holanda a Sarkozy, cuyos resultados fueron:

  1. Holanda (52%)
  2. Sarkozy (48%)

JPEG - 32.4 KBFrançois Hollande Hollande, el candidato elegido por la gente.

Al final, fue Holanda la que fue elegida presidenta.

Seamos un poco más curiosos, y pregunte qué podrían haber sido los resultados de los otros rostros imaginables. Además de la segunda ronda H – S que realmente tuvo lugar, habría habido otras 9 posibilidades: B – H, B – L, B – M, B – S, H – L, H – M, L – M, L – S y M – S. Obviamente, nunca sabremos con certeza lo que habrían dado estas segundas torres ficticias; Sin embargo, para creer los institutos de la encuesta, los resultados habrían sido prácticamente de la siguiente manera:

  • Bayrou Bat Holland 51 – 49;
  • Bayrou Beats The Pen 74 – 26;
  • Bayrou Bat Mélonchon 75 – 25;
  • BAYROU BAT SARKOZY 55 – 45;
  • Holland Beats Le Pen 65 – 35;
  • Holland Bat Mélonchon 80 – 20;
  • le pluma Bat Mélonchon 53 – 47;
  • le pluma es golpeado por Sarkozy 32 – 68;
  • Méloncon es golpeado por Sarkozy 36 – 64.

Sintetizamos todo esto en la forma del «diagrama de preferencia binaria» a continuación, donde:

  • se representa cada candidato por una posición separada;
  • entre cada par de candidatos, hay una flecha que apunta hacia la de los dos que se verían pasando por alto la cara a cara (descuidamos la posibilidad de un ex, es decir);
  • en cada flecha, indicamos la puntuación (en porcentaje) por la cual el ganador de la cara a cara se refería.

Diagrama de preferencias binarias para la elección presidencial

Qué podrían haber dado las segundas torres imaginables entre los cinco principales candidatos en la elección presidencial Francés de 2012 ( Las flechas apuntan a los ganadores).

jpeg - 28.4 kb François Bayrou Bayrou, ¿el candidato quería por la gente?

Una búsqueda de huelgas: ¡François Bayrou habría derrotado a alguno de sus oponentes en la segunda ronda! Como, en la situación histórica, no se ha calificado, obviamente no ha sido elegido, pero varios editoriales destacaron que había una forma de paradoja … no sería lógica, de hecho, un candidato generalmente preferido para cualquier otro. ¿El favorito de todos?

Filosofía del criterio de Condorcet

Declaración del criterio

jpeg - 42.3 ko nicolas de Condorcet Retrato de Condorcet Nicolas por Jean-Baptiste Greuze.

En cualquier caso, la opinión de Nicolas de Condorcet, erudito francés del siglo XVIII, que fue uno de los pioneros del estudio matemático de la democracia. Presentó las siguientes definiciones (que nos adaptamos aquí en lenguaje moderno):

definiciones (Ganador de Condorcet; Criterio de Condorcet)

Si, entre los candidatos para una elección, hay uno que, enfrentado con cualquier Otro, es preferido por la mayoría de los votantes, entonces este candidato se llama el ganador de Condorcet.

Se dice que un método electoral satisface el criterio de Concorcet cuando, cuando hay un ganador de Condorcet, siempre es que este método declara al ganador (siempre que los votantes hayan votado de acuerdo con sus preferencias genuinas ).

En primer lugar, se necesita una auditoría: estamos hablando del ganador de Condorcet como si fuera único, pero ¿ese caso? La respuesta es «Sí»:

teorema (singularidad del ganador de Condorcet)

No puede haber más que un ganador de Condorcet con una elección.

Demostración

Imagina una situación en la que habría dos ganadores de Condorcet (al menos), llamados X e Y. Desde que X es un ganador de Condorcet, supera a N ‘Imports de sus competidores en frente -Faceface a cara, especialmente Y. Pero de la misma, ya que hay un ganador de Condorcet, debe derrotar a X cara a cara … o la cara a cara entre X e Y, obviamente, puede tener solo Un ganador: por lo que en realidad es imposible que haya más de un ganador de Condorcet.

La tesis de Condorcet fue que, para que un método electoral sea realmente justo, debe satisfacer el Criterio del epónimo. Permítanos citar al gran hombre:

Puede resultar de la forma de votar en las elecciones ordinarias, una decisión en realidad contraria a la pluralidad. Por lo tanto, uno debe sustituir en este formulario en el que cada uno de los votantes, que expresan el orden según el cual coloca a los candidatos, pronunciaría tanto la preferencia respectiva que les da. Cuando desee elegir al candidato más digno, será suficiente que el sistema no implica la contradicción para el candidato que merece preferencia en todos.

Condorcet, por lo tanto, se opondrá a nuestro método no recomendable con dos giros, ya que el ejemplo de Bayrou muestra que no satisface su criterio. Pero antes de ir más allá, debe explicarse cuáles son las justificaciones teóricas en la tesis de Condorcet.

Justificación matemática del criterio de Condorcet

Si lees mi artículo anterior, probablemente recuerdes Que un gran problema de la teoría matemática de las elecciones es la siguiente: los votantes a veces tienen interés en «voto estratégico» expresando una opinión falsa que traería el resultado de la votación para ser mejores para ellos que el que habría dado sincero. ¡DIFUSIO! En el caso de la votación poco recomendable con dos torres, estábamos hablando en el preámbulo, un ejemplo típico es lo que se llama el «voto útil». Imagina y el día antes de que las primeras encuestas de ronda le dan a Sarkozy lejos de la delantera. por la pluma y Holanda al codo a codo, y mucho más lejos Méloncon. Considera un elector ficticio que es un gran fanático de Méloncon, se mezcla con Holanda, no le gusta Sarkozy y odia la pluma. Este elector dice: «Si voto Méloncon, no será suficiente para calificarlo para la segunda ronda de todos modos; Por otro lado, corro el riesgo de ver una segunda ronda entre los dos candidatos que menos me gusta. Por otro lado, al votando Holanda, disminuyo las posibilidades de una segunda ronda Sarkozy – Le PEN y promoveré la eliminación de mi odiado candidato! Así que tengo interés en votar Holanda «.

Pero cuando tomamos en cuenta este fenómeno estratégico de votación, el ganador de Condorcet (si hay uno) puede arreglar para ser elegido con seguridad! (En cualquier caso en El método ininuperinal con dos rondas). De hecho, imagina que hay un ganador de Condorcet llamado x, y supongamos que las encuestas predicen la victoria de otro candidato. Como x es un ganador de Condorcet, hay una mayoría de los votantes que lo prefieren a Y. Esta mayoría puede consultar y decir «Vamos a convertir los votos por X desde la primera ronda; ¡Así que tendrá la mayoría de los votos a su nombre y será elegido, lo que más interesante para nosotros! «. Por supuesto, esto no significa que todos los votantes de esta mayoría tengan x por candidato preferido. Incluso se puede imaginar que un número sustancial de ellos prefiere un tercer candidato Z, y puede sentirse tentado a ganar Z con la ayuda de Viejos votantes que también prefieren Z a X … pero apenas se pierden, porque X es un ganador de Condorcet, también hay una mayoría (pero no compuesta por los mismos votantes, por supuesto) que prefiere X a Z; si Z se convierte en Demasiado peligroso en las urnas, es la mayoría de la que Ligore votará X para evitar la elección de Z!

SO, un método satisfactorio El criterio de Condorcet tiene esta ventaja que los votantes no tienen que cavarla. Brains para saber si su voto está bien calculado: con un método de este tipo, si hay un ganador de Condorcet, ¡necesariamente será elegido!

Otra cualidad de los métodos que satisface el criterio de Condorcet es el siguiente: Mientras que los métodos convencionales (incluidos los métodos A, B, C, D y E del artículo anterior) están sujetos a un fenómeno de «voces dispersantes» cuando el número de candidatos se vuelve grande, el fenómeno que puede llevar a un resultado irrelevante, el resultado de un método que satisface el criterio de Condorcet no cambia cuando nos retiramos o agregamos «Pequeños» candidatos:

teorema (indiferencia a los pequeños candidatos)

    1. Si comenzamos desde una situación en la que un candidato se conquistan a Condorcet, y uno o más de los otros candidatos se retiran de la Elección, luego el ganador del Condorcet inicial sigue siendo el ganador de Condorcet después de este retiro.
    2. Viceversa, si compartimos una situación en la que un candidato es conquistador de Condorcet, y se introducen uno o más nuevos candidatos a cada uno o más nuevos candidatos. de lo cual el El ganador inicial se prefiere cara a cara, luego el ganador inicial de Condorcet sigue siendo el ganador de Condorcet después de esta adición.

El retiro o la adición de un candidato no cambia las preferencias binarias de los votantes entre los otros candidatos. Para Point I, ya que nuestro ganador inicial de Condorcet inicialmente venció a todos sus oponentes en la cara a cara, de modo que sigue siendo el caso si uno o más de sus oponentes se retiran. Para el punto II, nuestro ganador inicial de Condorcet continúa venciendo a todos sus oponentes iniciales, y asumimos que también estaba golpeando a sus nuevos oponentes, de modo que siempre es ganador de Condorcet en la nueva situación.

Nota, por otro lado, que, si el ganador de Prospective Condorcet es, en cierto sentido, un ganador inevitable, es lo que no es necesariamente el que es realmente el favorito de las personas (en el sentido de que habíamos mencionado En el artículo anterior, es decir, medir la medición de la felicidad total que este candidato aportaría al público si es elegido). Por lo tanto, si solo hay dos candidatos x y y, y que el 51% de los votantes prefieren ligeramente x a y y el 49% de los votantes prefieren en gran medida y a x, es x que será elegido cuando queremos decir que es más bien Donde representa la voluntad de la gente. Dicho esto, este fenómeno de la «dictadura mayoritaria»
no está directamente relacionada con el criterio de Condorcet: es, de hecho, un vicio inherente a la democracia, según lo que ya estaba incluido Kant.

Por el momento, hemos hablado mucho sobre la filosofía y algunas matemáticas (e incluso menos investigaciones). Pero esta introducción fue necesaria para comprender por qué el criterio de Condorcet es un objeto matemático natural e importante. En la segunda parte de este artículo, ahora hablaremos sobre una investigación mucho más reciente que gira en torno a este criterio.

¿Existe realmente la paradoja de Condorcet?

The ConorCet Paradox

El criterio de Condorcet Naturalmente nos lleva a hablar sobre la paradoja de Condorcet, que ya habíamos encontrado en el artículo anterior. Esta paradoja establece en sustancia de que no existe necesariamente un ganador de Condorcet:

paradox Condorcet (1785)

Tan pronto como hay al menos 3 candidatos , hay situaciones en las que no hay ganador de Condorcet.

Supongamos que hay al menos 3 candidatos y elige tres candidatos particulares entre ellos, llamados x, y y z. Imaginamos que todos los votantes prefieren x, y y z a todos los demás candidatos, para que ninguno de estos otros candidatos no se pueda conquistador de Condorcet. Ahora podemos imaginar aún más que el 40% de los electores tienen el orden de preferencia «x luego y luego Z», 35% «y luego z luego x» y 25% «z y luego x luego y». Luego, el 65% de los electores prefieren x a y (por lo que no hay un ganador de Condorcet), el 75% prefiere y a Z (así que Z no es un ganador de Condorcet), y el 60% prefiere Z a X (SO X no es un Condorcet ganador): ningún candidato es, por lo tanto, conquistador de condorcet.

div =

Sin embargo, hemos visto en el preámbulo de un caso de real ¡Elección con no menos de 5 candidatos en los que realmente hay un ganador de Condorcet! Esto sugiere que podría existir un fenómeno que prohíbe la paradoja de Condorcet en la práctica, porque las situaciones políticas realistas verificarían algunos supuestos particulares bajo los cuales La paradoja es imposible. En los siguientes párrafos, presentaremos diferentes modelos de preferencias políticas, y veremos si permiten o no la ocurrencia de la paradoja de Condorcet.

Condorcet Paradox en un tablero de ajedrez político

Introduciremos aquí un modelo bastante realista de las preferencias políticas de los electores, llamaremos el modelado por el tablero de ajedrez político, cuya idea es simplemente en general, Estamos votando por el candidato cuyas posiciones caen hasta nuestras opiniones. Se supondrá que hay un «tablero de ajedrez político» abstracto (lo que hace posible hablar de «distancia política») en la que los candidatos pueden ser colocados, así como los electores, como las preferencias de cada votante son el candidato que es el más cercano a la más alejada de distancia.

One podría esperar que con tal modelo, nunca hay una paradoja de Condorcet … ¡Pero este no es el caso! Supongamos que el tablero de ajedrez político corresponde a un tablero de ajedrez real (cuyas cajas miden, digamos, lado de 5 cm), donde uno coloca a un candidato x en la caja B7, un candidato y en la caja F7, un candidato Z en E4 y un candidato C2 . Nos imaginamos que el electorado se divide en cuatro grupos de varios tamaños, cada uno de los cuales tiene exactamente la misma posición que uno de los candidatos: el 34% de los electores están en el nivel de x, 26% a nivel de y , 18% de Z y 22% W. Las distancias entre los candidatos son entonces los indicados en el dibujo a continuación, de modo que las siguientes preferencias para los votantes («X > y» Significado «X se prefiere a Y «):

El ejemplo del tablero de ajedrez

quí, a la izquierda, un político Configuración de tableros de ajedrez de manera tal que, si hay 34% de los electores en X, 26% en y, 18% en Z y 22% en W, y que cada elector prefiere a los candidatos de los que está más cerca, entonces ningún candidato es el Condorcet. Ganador: a la derecha, el diagrama de preferencia binario correspondiente.

  • x > y > z > w por 34% de elección Rs;
  • y > z > x > w por 26% de los votantes;
  • w > z > x > Y para el 22% de los votantes;
  • z > w > y > x para el 18% de los votantes.

Entonces, en esta configuración, X no es un ganador de Condorcet (porque es golpeado por Z al 66%) ni y (golpeado por x a 56%), ni Z (golpeado por y a 60%), ni W (golpeado por Z en el 78%): ¡así que tenemos paradoja de Condorcet!

Los teoremas del votante mediano

En el ejemplo del tablero de ajedrez, hicimos una etapa política de dimensión 2, es decir, con 2 coordenadas (una para las columnas y una para las líneas). ¡No fue una coincidencia! Debido a que si el tablero de ajedrez político tiene una sola dimensión, se puede demostrar que todavía hay un ganador de Condorcet:

teorema (primero el teorema del votante mediano; Negro 1958)

Cuando el tablero de ajedrez político es Un eje graduado (que generalmente interpretamos como un posicionamiento político de la «más dejada» hacia el «más derecho»), siempre hay un ganador de Condorcet.

Para demostrar este teorema, nosotros Primero introducirá una definición que nos será útil en la prueba:

definición (perfil de preferencias en λ)

Se dice que un elector en un perfil de preferencias en λ (lea «lambda» ) Cuando, cuando uno viaja la lista de candidatos de la izquierda a la derecha a la derecha, la preferencia de este elector aumenta hasta llegar a su candidato favorito, luego desciende. (Posiblemente, el candidato preferido puede ser el más a la izquierda o el derecho a la derecha de todos; lo importante nunca es volver después de bajar).

Por ejemplo, si asumimos que los candidatos del presidencial Elección se ubica de izquierda a derecha de acuerdo con la orden «M, H, B, S, L», luego las preferencias «B > H > s > el > m «o» l > s > b > h > m «son perfiles en λ, pero no» H > m > s > b > l, ya que Una preferencia cae entre H y B antes de subir entre B y S.

Demostración del primer teorema del elector mediano

El primero el punto es observar que, cuando el tablero de ajedrez político es un eje graduado, todos los votantes tienen un PR Ofil preferiblemente en λ. De hecho, considere cualquier elector.Cuando pasamos por el tablero de ajedrez político de izquierda a derecha, comenzamos a acercarnos a este elector antes de alejarse, de modo que las preferencias del votante aumenten (siempre que estemos dejados a la izquierda que este elector) antes de descender (una vez que estemos MÁS DERECHO): Esto corresponde a un perfil de preferencia en λ. (Si no se encuentra el candidato exactamente la misma posición que el elector, será necesario analizar las distancias precisas para saber si el candidato favorito de este votante es el que se encuentra inmediatamente en su izquierda o inmediatamente a su derecha, pero en el Dos casos tenemos un perfil en λ).

Ahora probamos el teorema. Para evitar los problemas de tictac, supongamos que hay un número impar de votantes. Cada uno de estos votantes tiene un candidato favorito. Imagine que le pedimos a cada votante que escriba el nombre de su candidato favorito en un boletín informativo y clasificamos a los boletines informativos obtenidos del candidato más izquierdo al candidato más a la derecha, y llamemos x el candidato que está en el boletín candidato ubicado en el medio de Este ranking. Afirmo que X es un ganador de Condorcet. De hecho, considere un candidato ubicado, por ejemplo, más derecho que x (para un candidato a la izquierda, sería suficiente para invertir «derecho» y «izquierda» en el resto). Como X está en medio de nuestra clasificación de boletines informativos, existe una mayoría absoluta de boletines que están en nombre de X o un candidato más izquierdo que X, lo que significa que existe una mayoría absoluta de votantes cuyo candidato preferido es X , o un candidato ubicado más a la izquierda que x. Luego, considere tal votante, de los cuales llamamos Z el candidato preferido (Z que puede ser el mismo que X). Sabemos a través del párrafo anterior de que nuestro elector tiene un perfil de preferencias en λ, por lo que cuando uno se aleja de Z a la derecha, las preferencias del elector solo disminuyen. Pero aquí X es al menos tan derecho como Z y Y es aún más a la derecha que x, por lo que cruzaremos allí más tarde a X durante esta lejanía; Por lo tanto, nuestro elector prefiere x a y., ya que es lo mismo para una mayoría absoluta de votantes, significa que X se prefiere predominantemente a Y, y, como podemos hacer el mismo razonamiento para todos, lo que es un Condorcet. ganador. Tenga en cuenta que esta demostración muestra que el teorema sigue siendo válido tan pronto como todos los votantes tienen un perfil de preferencias en λ.

De este primer teorema del mediano elector (y el modelado por el tablero de ajedrez político en general) es que considera que la única calidad de los candidatos que interesarían a los votantes es su posicionamiento político. Sin embargo, con la misma posición política, algunos candidatos pueden ser «mejores» o «peores», por ejemplo, debido a sus cualidades intelectuales o carismáticas. Por lo tanto, un modelo más fino es lo siguiente: por un lado, hay un eje graduado en el que se colocan los candidatos y los electores, y por otro lado también se asocia con cada candidato un «valor intrínseco». Cada elector calcula para los distintos candidatos una «puntuación» igual al valor intrínseco del candidato menos la distancia del candidato, y clasificó a los candidatos por puntuación descendente: se da un ejemplo en el dibujo a continuación.

Eje político con valores intrínsecos

Aquí hay un ejemplo teniendo en cuenta tanto la colocación de Candidatos sobre el eje político «izquierda – derecha» y el valor intrínseco de los candidatos. En este ejemplo, hay cinco candidatos vistos por puntos, el valor intrínseco de cada uno de ellos se indica entre paréntesis. Si consideramos un elector ubicado en la posición «E», este elector le da una puntuación igual a 9 (valor) – 5 (distancia) = 4, en H a puntuación de 8 – 1 = 7, a b a puntuación de 5 – 1 = 4, y de la misma a S y L de las puntuaciones respectivas de 5 y 3. Por lo tanto, el orden de las preferencias de este elector es «H > m

s > b > l «, que no es un perfil en λ.

Bueno, en este modelo, todavía estamos seguros de la existencia de un ganador de Condorcet:

teorema (segundo teorema del votante mediano; Roberts 1977)

Si los candidatos y los votantes se colocan en el mismo eje graduado, por un lado, a cada candidato se asocia con un valor intrínseco en el otro, y que las preferencias de cada elector están determinadas por la diferencia «Valor intrínseco: distancia del candidato «, Luego siempre hay un ganador de Condorcet.

Para demostrar este teorema, también estamos empezando aquí mediante la introducción de una definición:

Definición (preferencias archivadas)

candidatos están dadas clasifican de izquierda a derecha y los votantes también clasifican de izquierda a derecha, se dice que la configuración de las preferencias se ve impedida si es imposible encontrar un candidato X a la izquierda que otro candidato y y un elector tiene más a la izquierda que otro elector B que prefiere y que x pero b prefiere X a y (en otras palabras, que son tales que el elector a la izquierda prefiere el candidato adecuado y el elector derecha del candidato de la izquierda).

demostración de la segunda teorema del elector mediana

el primer punto es observar que, bajo las hipótesis del teorema, la configuración de las preferencias se ve privado. Considere dos candidatos X e Y, con más derecho que X. decir que la configuración de las preferencias se describe significa que, como ficticios elector se mueve de izquierda a derecha en el eje político, no puede, no una preferencia «y > x «a una preferencia» x > y «; Para demostrar que, es suficiente establecer que la diferencia «X Puntuación de puntuación» solo puede aumentar cuando vamos de izquierda a derecha. Ahora, en esta diferencia en la puntuación, lo único que cambia de un elector a otro es la parte de la puntuación que depende de la distancia: ¡la que depende de la puntuación es la misma! Por lo tanto, es suficiente para demostrar que la diferencia «la distancia de Y – distancia de X» solo está disminuyendo cuando uno va de la izquierda a la derecha. Entonces, ¿qué pasa cuando vamos de la izquierda a la derecha? Al principio, siempre que aún se encuentren de x, cada paso hacia la derecha más cercano a la X a partir de Y, y, por lo tanto, la diferencia «distancia a y – distancia a x» no varía. Luego, cuando está entre X e Y, cada paso a la derecha no solo disminuye la distancia a Y, sino que también aumenta la X a X, de modo que la diferencia «distancia a y – distancia a x» disminuye. Finalmente, más allá de Y, cada paso hacia la derecha nos mueve hasta muchos x A partir de Y, y por lo tanto, de nuevo, la diferencia de las distancias sigue siendo constante. Por lo tanto, tenemos una configuración de preferencias descortadas.

Ahora probamos el teorema. Para evitar los problemas de ex -quo, supongamos que hay un número impar de votantes. Si clasificamos a estos votantes de izquierda a derecha en el eje político, entonces hay uno que se encuentra en medio de este ranking, que llamaremos al «Elector mediano». Yo digo que las preferencias de la mayoría son exactamente los mismos que los de este elector medio, y por lo tanto, en particular, el candidato favorito del elector medio es un ganador de Condorcet.
En efecto, supongamos que entre dos candidatos X e Y, el elector promedio prefiere x; Para solucionar las ideas, digamos que es más justo que X (de lo contrario, invertir «derecho» y «Izquierda»). Así que de acuerdo al resultado intermedio anterior, aún más en los votantes de izquierda que el elector medio también prefiere X a Y, y por lo tanto hay una mayoría de los votantes que prefieren X a Y, lo que queríamos demostrar. Tenga en cuenta que esta demostración que el teorema sigue siendo válido tan pronto como la configuración de las preferencias se ve privado.

Además de demostrar la existencia de la existencia de la existencia de la existencia de la existencia de la existencia de la existencia de la existencia de Conquistador de Condorcet, la evidencia anterior nos dice lo que este ganador es: es el candidato favorito del elector se encuentra «en el medio» de todos en el eje de las preferencias (de ahí el nombre de «teorema» del elector medio «). Un fenómeno similar ocurrió durante el primer teorema del elector medio, en el que el resultado de la elección corresponde a la opción más central entre los candidatos favoritos de los diversos constituyentes. Una moral que podamos en el dibujo es que el criterio de Condorcet promueve a los candidatos «centristas» en comparación con los candidatos más orientados o extremos Es. ¿Es un comportamiento deseable? Las opiniones difieren sobre esta cuestión:
Para algunos, la promoción de los centristas riesgos repugnante votantes no centristas que tendrían la impresión de no ser tenido en cuenta, y para promover la política del consenso MOU a expensas de los más ambiciosa proyectos; Otros, por el contrario, creen que una política centrista podría apaciguar el debate al permitir a todos a navegar un poco, y que gran estabilidad política sería más propicio para el establecimiento de proyectos a largo plazo..

Y cuando no hay un ganador de Condorcet?

los teoremas del elector promedio tienden a indicar que, en situaciones concretas, vamos a tener la mayor parte del ganador Una condorcet tiempo, lo que la historia de las elecciones es en realidad corrobora.Dicho esto, el modelado puramente unidimensional en el que estos teoremas descansan son claramente demasiado reductores, y el ejemplo del tablero de ajedrez nos muestra que es solo un caso más complejo para ver reaparecer la paradoja de Condorcet. .. en resumen, Si deseamos aplicar un método electoral que satisfaga el criterio de Condorcet, será necesario dar una regla a designar al candidato elegido cuando no haya un ganador de Condorcet. Pero cuál ? Esta pregunta ha comenzado a estudiarse solo unas pocas décadas, especialmente porque antes de la invención de la ciencia informática era prácticamente imposible hacer el conteo de una votación donde los votantes indican sus preferencias entre todos los candidatos. Esta es una investigación sobre este tema que ahora hablaremos.

El método Minimax

Comencemos con un enfoque muy simple. Uno puede decir: «En la base, un ganador de Condorcet es un candidato que lleva a cabo más del 50% contra todos los demás. Si ninguno de los candidatos tiene éxito, podemos reducir el umbral del 50% para decir:» Si solo hay uno De los candidatos que administran para alcanzar, por ejemplo, 45% contra cualquier otro, entonces es este candidato quien debe ser elegido «». En otras palabras, el protocolo es el siguiente: para cada uno de los candidatos, miramos lo peor De las puntuaciones que haría en sus diferentes caras, luego declaramos que los candidatos cuyo peor puntaje es el mejor. Este método se denomina método mínimo, porque se ve quién es el mejor («Max») en el situación donde es lo menos bueno («mini»).

Entonces, para el ejemplo del tablero de ajedrez que se presentó anteriormente (donde no hay ganador de Condorcet), la peor derrota de X se lleva a cabo contra Z en 66 %, la peor derrota de Y contra x en un 56%, la peor derrota de Z contra y en un 60% y la peor derrota de W contra Z por 78%. La más loca de estas peores derrotas es la de Y, que es, por lo tanto, el ganador de Minimax.

¡Parece natural! Ay, este método abre el camino a una forma de «manipulación» (sinónimo de peyorativo de «voto estratégico») particularmente peligroso. Supongamos que, de hecho, de hecho, en el ejemplo del tablero de ajedrez anteriormente, tenemos más de un grupo V compuesto por «» Anarquistas «. Estos anarquistas son relativamente numerosos, ya que constituyen el 40% de la población total, de modo que tenemos la siguiente distribución general: x 20%, y 16%, z 11%, w 13%, v 40%. Sin embargo, los anarquistas son unánimes contra ellos fuera de su grupo: ¡así como los partidarios de X e Y a partir de Z la de W Clasificando la última posición en su orden de preferencias! Aquí es donde los anarquistas tienen una gran idea para tomar el poder a pesar de esta importante handicap. Dicen: «En lugar de votar de manera equilibrada entre nuestros competidores, ¿haremos arreglar a amplificar las peores derrotas tanto como sea posible?».

Para hacer esto, los votantes del grupo V se dividen en Tres subgrupos (por otro lado, todavía tienen un solo candidato):

  • subgrupo $ v_1 $ cuenta 18% de todos los votantes y votación «v > z > y > x > w «;
  • El subgrupo $ V_2 $ tiene 12% de los votantes y votan «V > y > x > z > w «;
  • El subgrupo $ v_3 $ cuenta 10% de votantes y voto» v > x > z > y > w «.

Con esta estrategia, tenemos los siguientes votos:

  • x y > z > w > V para el 20% de los votantes;
  • v > x > y > z > w por el 18% de los votantes;
  • y > z > x > w > v para el 16% de los votantes;
  • w > z > x > y > v para 13% de los votantes;
  • v > z > x > Y > w por el 12% de los votantes;
  • z > w > y > x > v para el 11% de los votantes;
  • v > y > z > x > w por el 10% de los votantes.

Esto conduce al siguiente diagrama de preferencia binario (derecha):

La manipulación de los anarquistas

Estos son los diagramas correspondientes al ejemplo del tablero de ajedrez con anarquistas, a la izquierda en el caso de que los anarquistas votan sinceramente (asumimos que las preferencias de los anarquistas entre x, y y z son aleatorias y W es todavía su odiado candidato), y con la manipulación que hemos explicado (los cambios se indican en rojo). En el primer caso, el ganador de Minimax está ahí; En el segundo, es V, ¿a quién son todos los demás candidatos todavía?

Entonces, las peores derrotas de x, y y z son respectivamente 62%, 63% y 64% (respectivamente contra Z, X e Y), la peor derrota de W es del 87% (contra Z) y la peor derrota de V es del 60% (contra ninguno de sus oponentes): es, por lo tanto, que se convierte en el ganador de Minimax ! «Obviamente, los partidarios de X, Y, Z y W tienen la oportunidad de aliarse para designar y como candidato común y fallar el plan de V, pero dijimos algunos párrafos más altos que la filosofía del criterio de Condorcet fue a ¡Ahorre lo más posible para los votantes los tormentos del voto estratégico! Por lo tanto, parece, según este punto de vista, de acuerdo con este punto de vista, que el Método Minimax no sea relevante cuando no hay un ganador de Condorcet.

El método de Schulze

Ahora vamos a presentar un método. Concebido en 1997 por un estudiante de física alemán llamado Markus Schulze, que no tiene la discapacidad con el Método Minix. La filosofía detrás del método de Schulze es el siguiente: «En la parte inferior, una elección, nunca es un truco para evitar los inconvenientes de las revoluciones: consultamos a los constituyentes para saber quién eventualmente ganaría la revolución sin tener que vencer».

Aquí se le llamarán una «revolución» aquí, es cuando un gran número de votantes acuerdan derribar al presidente y reemplazarlo con otro, en cuya identidad han acordado antes. En este sentido, es fácil de entender el criterio de Condorcet: si un candidato (llamado) es el ganador de Condorcet, cualquier otro candidato que suceda al poder sería revertido rápidamente por la mayoría que prefiere x a este candidato, mientras que una vez x Estará en el poder que nunca habrá una mayoría para derrocarlo, lo que hará que su asiento sea mucho más estable. Al final, ya que rápidamente tenemos transiciones de N ‘Imports que a X y rara vez X Transitions a cualquiera, es X que estará en el poder la mayor parte del tiempo. (Tenga en cuenta que aquí no afirmamos que es imposible derrocar a un presidente sin tener una mayoría ligada a la mayoría de él: solo decimos que esto es mucho más fácil de hacerlo tan pronto como tengamos algunas personas más para liderar la revolución) .

Veamos lo que sucedería en un marco de este tipo para el ejemplo del tablero de ajedrez con anarquistas. Las revoluciones tienden a derrocar a los presidentes en la dirección indicada por las flechas, y mucho más rara vez en la dirección opuesta. Por lo tanto, al final de algunas revoluciones, el presidente es necesariamente X, Y o Z, ya que una vez llegamos a uno de estos tres, no hay manera de que la flechas que trae en W o V! Así que ya vemos (como nos pareció natural) que no es v que las revoluciones aportarán la mayor parte del tiempo.

Vamos a continuar. Sabemos que será esencialmente X, Y y Z que compartirán el poder, pero ¿en qué proporciones? Si solo observamos las flechas sobre estos tres candidatos, tenemos el diagrama izquierdo a continuación:

El método de Schulze contra la manipulación de los anarquistas

Estos diagramas explican lo que sucede cuando se aplica el método Schulze a la situación en la que los anarquistas están tratando de manejar su manejo. El grupo de la cabeza del diagrama de las preferencias binarias en esta situación se compone de los tres candidatos {x, y, z}: en particular V se elimina desde que fue golpeado por todos los demás candidatos! En un segundo paso, miramos el diagrama de las preferencias binarias entre estos tres candidatos. Para abrir un grupo de cabeza más pequeño, eliminamos la flecha más débil. El nuevo diagrama tiene un grupo de cabezales que consiste en el único candidato X: por lo que es él quien se declara ganador por el método.

Ahora, la idea es que de manera similar, fue Mucho más difícil de hacer una revolución con menos del 50% de las personas que más del 50%, es mucho más difícil hacer una revolución con 62% que con 63% o 64%. ..Entonces, borramos la flecha marcada «62%» para significar que esta revolución es rara, y llegamos al diagrama derecho anterior. Al final de algunas revoluciones, es necesariamente X, que es el presidente: la idea del método de Schulze es decir que es él quien debe ser proclamado ganador de la elección!

Ahora que explicamos el principio del método de Schulze, terminaremos dando una definición rigurosa y asegurarnos de que le dé un ganador único en todos los casos. Simplemente asumimos que nunca hay dos candidatos exactamente atados o dos flechas teniendo exactamente la misma fuerza en el diagrama de las preferencias binarias, que siempre es el caso en la práctica cuando hay muchos votantes.

Tenga en cuenta que en este El párrafo, a veces nos reuniremos con diagramas de preferencia binaria incompleta, es decir, donde algunos candidatos no están conectados por flechas.

definición (grupo de cabeza)

en un diagrama de preferencias binarias (posiblemente incompletas), Se dice que un candidato (llamado aquí x) pertenece al grupo líder cuando, a partir de cualquier otro candidato, es posible seguir un camino de acuerdo con las flechas que comienzan de este candidato y termina en x.

Aquí es importante tener en cuenta que si se completa el diagrama, el grupo de cabeza nunca está vacío:

teórico

En un diagrama de preferencia binario completo, el grupo de cabeza nunca está vacío.

Demostración

Presentaremos una manera de construir el grupo de la cabeza que muestra que este nunca está vacío. Llamaré aquí «HeadGree» a cualquier grupo de candidatos, como, cuando empezamos desde cualquier candidato que no esté en este grupo, podemos llegar a cualquier candidato en grupo después de las flechas.

Primero observo que el grupo De todos los candidatos es una de una sola hierba de cabeza, ya que no hay candidato que no pertenezca a este grupo.

Ahora, digo lo siguiente: Cuando tienes un alto overgrown,

  • o este accesorio es el verdadero grupo de cabeza;
  • o, entre esta explotación, podemos seleccionar un cierto número no cero de candidatos que forman un sobregrupo estrictamente menor.

De hecho, supongamos que nuestro grupo superior no es el verdadero grupo de cabeza. La única forma en que esto sucede es que hay al menos un candidato X en este grupo de alto punto de vista al que no es posible tener éxito en otro candidato y, que está necesariamente en el Ongrupo, ya que sabemos que podemos llevar a cualquier candidato de la MEJOR de cualquier candidato fuera del grupo de alto. Ahora, selecciono los candidatos del MEJOR que sean de tal manera que, cuando comenzamos de uno de estos candidatos, no podemos llegar a X. Este nuevo grupo no está vacío ya que contiene allí, y es estrictamente más pequeño que el grupo de cabezales iniciales Dado que no contiene X. Digo que este nuevo grupo sigue siendo un abuelo de cabeza. De hecho, considere un candidato Z que no está en este nuevo grupo. O bien este candidato no estuvo en nuestro actualización inicial, y luego sabemos que podemos ir de Z en cualquier punto de nuestro grupo de alto contenido inicial y, por lo tanto, especialmente en cualquier punto de nuestro nuevo grupo. O bien este candidato estuvo en nuestro actualización inicial, pero no en el nuevo grupo. Entonces, candidato Z, podemos regresar al candidato X siguiendo las flechas (por definición del nuevo grupo). Pero candidato X, podemos ir a cualquier candidato con el nuevo grupo: de hecho, hay una flecha entre X y W porque se completa nuestro diagrama, y necesariamente apunta a X a W, ya que no hay manera de W a X ! Al final, hemos demostrado que para cualquier candidato a Z que no esté en nuestro nuevo grupo, podemos ir de este candidato a cualquier candidato del nuevo grupo después de las flechas, lo que significa que el nuevo grupo es una mejor aplicación.

Vamos a continuar con el punto de vista de la cabeza formada por todos los candidatos, y siempre y cuando aún no hemos encontrado el grupo de cabeza real, aplique el método anterior para formar grupos sobre sobrepulsos más y más pequeños, pero todos no vacíos. Con necesariamente, en un momento, tendremos que detenernos, y en ese momento nuestro Anciútico será el verdadero grupo de cabeza de acuerdo con la alternativa anterior, y este grupo de cabeza estará bien no vacío, lo que demuestra el teorema.

Definición (Método Schulze)

De un diagrama de preferencia binario completo (¿en qué flechas tienen puntuaciones diferentes), definimos el ganador de Schulze por el siguiente método:

  1. Comenzamos desde el diagrama de las preferencias binarias para todos los candidatos.
  2. Si, de hecho, solo hay un candidato, el único -CI es proclamado ganador y parada.
  3. de lo contrario, miramos al grupo de la cabeza: si es estrictamente más pequeño que el conjunto inicial, borraremos a todos los candidatos que no están en este grupo de cabezales (así como las flechas con respecto a ellos), y el método se inicia nuevamente como si No había más candidatos restantes.
  4. Si, por otro lado, el grupo de la cabeza contiene todos los candidatos, las flechas de puntajes más pequeños se borran gradualmente hasta que el líder del diagrama se obtiene al borrar las flechas excluidas al menos una de los candidatos (que necesariamente sucedan, porque una vez que todos Las flechas se borrarían no habría nadie en el grupo de la cabeza). En ese momento, borraremos a todos los candidatos que no están en este nuevo grupo de cabeza (así como las flechas con respecto a ellos), y el método se inicia nuevamente como si hubiera más que los candidatos restantes.

Para garantizar que el método conduzca a la designación de un ganador, queda por verificar que durante el procedimiento de borrado de las flechas, no es probable que caiga en un grupo de cabeza vacío:

teorema

Si uno tiene un diagrama de preferencia binario para varios candidatos (posiblemente incompletos) en los que el grupo de la cabeza contiene todos los candidatos, así que borra una de las flechas no puede traer a una situación en la que el nuevo grupo de la cabeza estaría vacío . Por lo tanto, cuando uno comienza a partir de un diagrama de preferencias binarias en las que el grupo de cabeza contiene todos los candidatos y que uno borra sus flechas uno por uno, el primer momento en que el grupo de la cabeza deja de contener todos los candidatos le da un cabezal no vacío Grupo.

Demostramos solo el comienzo de la declaración, la siguiente parte «, por consiguiente» que se produce de inmediato. Salgamos de un diagrama de preferencia binario en el que el grupo de cabezales contiene todos los candidatos, y borrar: en una flecha, que llamamos x el candidato que dejó. Mostraremos que X está necesariamente en el nuevo grupo de la cabeza, que, por lo tanto, no estará vacía. Para hacer esto, considere cualquier candidato y, y demuestre que podemos ir de Y a X siguiendo las flechas a pesar de la borrada hecha. Como, antes del borrado de la flecha, el Grupo de la cabeza contenía a todos los candidatos, luego tuvimos un camino que pasó de Y a X. Pero inevitablemente este camino no tomó prestado la flecha borrada, ya que esta flecha comienza desde X entonces eso en nuestro Way X es el punto de llegada! Por lo tanto, es que el camino siempre se puede seguir una vez que se borra la flecha, lo que queríamos.

div.

Dijimos que el interés del método de Schulze era evitar manipulaciones como la de los anarquistas en el ejemplo del tablero de ajedrez. En realidad, se puede probar que dicha manipulación es imposible con este método:

teorema (robusteidad a la manipulación)

Supongamos que hay dos tipos de candidatos: los candidatos «irrazonables» y los candidatos «razonables» (nosotros Supongamos que hay al menos un candidato razonable), y llame a «votante razonable» un elector que clasifica a todos los candidatos irrazonables al final de su orden de preferencias. Entonces, si hay una mayoría absoluta de votantes razonables y estos votantes votan sinceramente, ningún candidato irrazonable puede ganar con el método de Schulze.

De la definición del método de Schulze, simplemente muestre que ningún candidato irrazonable pertenece al grupo principal en tal situación. Sin embargo, cuando comenzamos de un candidato razonable y de la flecha del diagrama de las preferencias binarias, inevitablemente conducimos a otro candidato razonable: de hecho, la mayoría de los votantes razonables garantizan que ninguna flecha pueda señalar un candidato razonable a un candidato irrazonable. Por lo tanto, es imposible tener un camino que deje a un candidato razonable y conduce a un candidato irrazonable, lo que queríamos.

Conclusión

El Condorcet Criterio para un método electoral democrático, que establece que un candidato preferido en cualquier otro cara a cara siempre debe ser elegido, permite una cierta medida para evitar los problemas de la votación estratégica.Cuando no hay un ganador de Condorcet, podemos imaginar varios métodos diferentes de «Condorcet»: entre ellos, el método de Schulze tiene la ventaja de tener una justificación heurística simple y que sea más robusta a algunas formas de manipulación, por ejemplo, el minimax método. Este es actualmente uno de los métodos de votación más populares de los teóricos de la democracia, y se utiliza, por ejemplo, por parte de los desarrolladores del sistema operativo gratuito Debian, los geeks aún a la vanguardia del progreso extraño …; -)

en un Artículo futuro, presentaremos otros métodos originales, no necesariamente satisfacen el criterio de Condorcet, pero que también han sido defendidos por los teóricos de sus propiedades matemáticas.

referencias

  • en Pista azul: las páginas de Wikipedia «Método Condorcet», «Condorcet Paradox» y «Método Schulze» (esta última página es bastante en la pista roja).
  • En los teoremas del elector mediano: Fundamentos de elección social Teoría, por Roger B. Myerson (1996); Texto gratuito disponible en Internet (fuera de pista).
  • wiki.electorma.com: una wiki que tiene los diferentes métodos de Condorcet y sus respectivas propiedades (fuera de pista).

Dejar un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *