Formulazione generale:

Sia e {\ displaystyle \ mathbb {e}}

uno spazio vettoriale. Un problema di ottimizzazione convesso è per ridurre al minimo una funzione convessa F: E → R ¯: = r ∪ {- ∞, + ∞} {\ displaystyle f: \ mathbbb {e} \ at {\ bar {\ mathbb {r}}} : = \ MathBB {R} \ Cup \ {- \ INFTY, + \ INFTY \}}

F: \ MathBB {E} \ A \ BAR {\ R}: = \ R \ Cup \ {- \ INFTY, + \ INFTY \}

su e {\ displaystyle \ mathbb {e}}

\ mathbbs {e}

, cosa è scritto in uno dei seguenti modi:

inf x ∈ e f (x) o inf {f (x): x ∈ e} o infh f (e) o {inf (x) x ∈ e. {\ Displaystyle \ inf _ {x \ in \ mathbbs {e \ in \, \, f (x) \ quad {\ mbox {o}} \ quad \ inf \, \ {f (x): x \ in \ mathbb {e} \} \ quad {\ mbox {o}} \ quad \ inf \, f (\ mathbb {e}) \ quad {\ mbox {o}}} quad \ sinistra \ {{\ begin {array} {l} \ inf \, f (x) \\ x \ in \ mathbb {e}. \ end {array}}} destra.}

\ inf_ { x \ in \ mathbb {e}} \, f (x) \ quad \ mbox {o} \ quad \ inf \, \ {f (x): x \ in \ mathbb {e} \} \ \ quad \ mbox { o} \ quad \ inf \, f (\ mathbb {e}) \ quad \ mbox {o} \ quad \ sinistra \ {\ begin {array} {l} \ inf \, f (x) \ x x \ in \ mathbb {e}. \ end {array} \ destra.

Se si nota

A ≡ DOM ⁡ F: = {X ∈ E: f (x) < + ∞} {\ DisplayStyle {\ Mathcal {A}} \ Equiv \ OperatorName {DOM} F: = \ {x \ in \ mathbb {e}: f (x) < + \ infty \}}

{\ Mathcal A} \ Equiv \ OperatorName {DOM} F: = \ {x \ in \ mathbb {e}: f (x) + \ infty \}

Il dominio (efficace) di f {\ displaystyle f}

f

, il professionista Blemish è identico a quello di minimizzare f {\ displaystyle f}

f

su a {\ displaystyle {\ mathcal {a}}}

{\ Mathcal A}

:

inf x ∈ A f (x). {\ Displaystyle \ inf _ {x \ in {\ mathcal {a}}} \, f (x).}

\ inf_ {x \ in {\ mathcal A}}}}}, f (x).

se a = ∅ {\ displaystyle {\ mathcal {a}} = \ Varnothing}

{\ mathcal a} = \ Varnothing

, vale a dire se f ≡ + ∞ {\ displaystyle f \ equiv + \ INFTY}

F \ Equiv + \ INFTY

, questa espressione è ancora valida poiché, per convenzione, inf (∅) = + ∞ {\ DisplayStyle \ INF F (\ VARNOTHING = + \ INFTY}

\ FLUR (\ Varnoding) = + \ INFTY

. L’interesse di avere una funzione f {\ div>fche può prendere il valore + ∞ {\ displaystyle + \ infty}

+ \ INFTY

è quindi quello di introdurre vincoli nel problema della minimizzazione (la soluzione del problema è costretta ad essere in A {\ DisplayStyle {\ Mathcal {A}}}

{\ Mathcal A}

).

SolutionModifier

Una soluzione (globale) di problemi inf {f (x): x ∈ e} {\ displaystyle \ inf \ {f (x): x \ in \ mathbb {e} \ }}

\ inf \ {f (x): x \ in \ mathbb {e} \}

è un punto x ¯ ∈ E {\ displaystyle {\ bar {x}} \ in \ mathbb {e}}

\ bar {x} \ in \ mathbb {e}

Tale che

∀ x ∈ E: f (x ¯) ≤ f (x). {\ Displaystyle \ forell \, x \ in \ mathbb {e}: \ quad f ({\ \ bar {x}}) \ leq f (x).}

\ Forell \, x \ in \ mathbb {e}: \ quadf (\ bar {x}) \ leq f (x).

Chiaramente, se f {\ displaystyle f}

f

prende il valore – ∞ {\ displaystyle – \ infty}

- \ INFTY

, su AF (x ¯) = – ∞ {\ displaystyle f ({\ bar {x}}) = – \ Infty}

F (\ bar {x}) = - \ INFTY

; e se f {\ displaystyle f}

f

non è identicamente uguale a + ∞ {\ displaystyle + \ infty}

+ \ INFTY

, su AF (x ¯) < + ∞ {\ displaystyle f ({\ bar {x}}) < + \ INFTY}

F (\ BAR {X}) + \ INFTY

.

Se E {\ displaystyle \ mathbb {e}}

\ mathbb {e}

è uno spazio vettoriale topologico, x ¯ {\ Displaystyle {\ bar {x}}}

{\ bar {x}}

è una soluzione locale del problema inf {f (x) : x ∈ e} {\ displaystyle \ inf \ {f (x): x \ in \ mathbb {e} \}}

\ inf \ {f (x): x \ in \ mathbb {e} \}

se

∃ v quartiere di x ¯, ∀ x ∈ V: f (x ¯) ≤ f (x). {\ displaystyle \ esiste \, v ~ {\ mbox {quartiere di} ~ {\ bar {x}}, \ quad \ forall \, x \ in V: \ quad f ({\ bar {x}}) \ leq f (x).}

\ esiste \, v ~ \ mbox {quartiere di} \ bar {x}, \ quad \ forall \, x \ in V: \ quadf (\ bar {x}) \ leq f (x).

In realtà Una soluzione locale è una soluzione globale nel senso precedente.

Soluzioni di un problema di ottimizzazione convesso –

  1. Tutte le soluzioni di un problema di ottimizzazione convesso sono convex.
  2. se f {\ displaystyle f}
    F

    è rigorosamente convesso, il problema di ottimizzazione convesso ha al massimo una soluzione.

  3. se e {\ displaystyle \ mathbb {e}}
    \ mathbb {e}

    è uno spazio vettoriale topologico e se x ¯ {\ displaystyle {\ bar {x}}}

    {\ bar {x}}

    è una soluzione locale di un problema di ottimizzazione convesso, quindi x ¯ {\ displaystyle {\ bar {x}}}

    {\ bar {x}}

    è una soluzione globale del problema.

vincoli funzionaliModificatore

Invece di dare valore infinito al criterio al di fuori del set idoneo, I vincoli possono essere esplicitamente specificati. Il problema è scritto ad esempio come segue

{inf (x) x ∈ ca x = bc (x) ⩽ 0, {\ displaystyle \ sinistra \ {{\ Begin {array} {l} \ inf \, f (x) \ x x \ in c \\ ax = b \\ c \\ ax = b \\ c (x) \ leqslant 0, \ end {array}} \ destra.}

\ sinistra \ {\ begin {array} {l} {array} {l} \ inf \, f (x) \ x \ in c \\ ax = b \\ c ( x) \ leqslant0, \ end {array} \ destra.

in cui si riduce al minimo una funzione f: x ∈ e ↦ f ( x) ∈ r {\ displaystyle f: x \ in \ mathbbs {e} \ mapsto f (x) \ in \ mathbb {r}}

f: x \ in \ mathbb {e} \ mapsto f (x) \ in \ r

con valori finiti e sconosciuto x ∈ e {\ displaystyle x \ in \ mathbbs {e}}

x \ in \ mathbbs {e}

deve

  • appartiene a un set di convesso c {\ displaystyle c}
    C

    DE E {\ DisplayStyle \ MathBB {E}}

    \ MathBB {E}

    ,

  • Controllare un vincolo affino a x = b {\ displaystyle ax = b}
    AX = B

    (A: E → F {\ DisplayStyle A: \ MathBB {E} \ A \ MathBB {F}}

    A: \ MathBB {E} \ to \ mathbb {f}

    è un’applicazione lineare tra E {\ displaystyle \ mathbb {e}}

    \ mathbbs {e}

    e un altro spazio vettoriale f {\ displaystyle \ mathbb {f}}

    \ mathbb {f}

    e b ∈ f {\ displaystyle b \ in \ mathbb {f}}

    b \ in \ mathbbs {f}

    ) e

  • Controllare un numero finito di convex Vincoli funzionali forniti da una funzione c: e → rm {\ displaystyle c: \ mathbb {e} \ at \ mathbb {r} ^ {m}}
    c: \ mathbbs {e } \ to \ r ^ m

    incluso il m {\ displaystyle m}

    m

    i componenti sono convex e la disuguaglianza vettoriale C (x) ⩽ 0 {\ displaystyle c (x) \ leqsty 0}

    c (x) \ leqslant0

    deve essere compreso componente per componente (IT è equivalente al m {\ displaystyle m}

    M

    Interugity vincoli ci (x) ⩽ 0 {\ displaystyle c_ {i} (x) \ leqslant 0}

    c_i (x) \ leqslant0

    per i ∈] {\ displaystyle i \ in \!]}

    I \ in \!]

    ).

Il set idoneo di questo problema è convesso ed è scritto

x: = {x ∈ E: x ∈ c, ax = b, c (x) ⩽ 0}. {\ Displaystyle x: = \ {x \ in \ mathbb {e}: x \ in c, ~ ax = b, ~ c (x) \ leqslant 0 \}.}

x: = \ {x \ in \ mathbb {e}: x \ in c, ~ ax = b, ~ c (x) \ leqslant0 \}.

Il problema è ben convesso poiché è per minimizzare su e {\ displaystyle \ mathbb {e}}

\ mathbbs { e}

la funzione f ~: x ∈ e ↦ f ~ (x) ∈ r ¯ {\ displaystyle {\ tilde {f}}: x \ in \ mathbb {e} \ mapsto {\ tilde {f}} (x) \ in {\ bar {\ mathbb {r}}}}

\ tild {f}: x \ in \ mathbb {e} \ mapsto \ tilde {f} (x) \ in \ bar {\ r}

definito da

f ~ (x) = {f (x ) Se x ∈ x + ∞ altrimenti, {\ displaystyle {\ tilde {f}} (x) = \ sinistra \ {{\ \ begin {array} {\}} {array} {ll} f (x) & {\ mbox {if}} ~ x \ in x}} ~ infty & {\ mbox {altrimenti}},} {array}} \ destra.}

\ tild {f} (x) = \ sinistra \ {\ begin {array} {\}} {array} {ll} f (x) \ mbox {if} ~ x \ in x \\ + \ infty \ mbox {altrimenti} \ end {array} \ destra.

Che è una funzione convessa.

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