Matricielledifier scrittura

Articolo dettagliato: Matrice di rotazione.

in spazio euclideo dimensionato 3 , una rotazione vettoriale è definita da:

  • un’unità vettoriale n → {\ displaystyle {\ vec {n}}}
    {\ vec n}

    , che determina il suo asse: il diritto dei vettori invarianti da questa rotazione vettoriale è generata e orientata da questo vettore;

  • il suo angolo φ {\ displaystyle \ Varphi \,}
    \ varphi \,

    , quello della rotazione vettoriale piatta associata, restrizione di questa rotazione al piano π {\ displaystyle \ mathbf {\ pi} \ ,}

    {\ mathbf \ pi} \,

    ortogonale all’asse.

l orientamento di questo piano è determinato dalla scelta dell’orientamento dell’asse. Coppie (n →, φ) {\ displaystyle ({\ VEC {n}}, \ VECCI)}

({\ vec n}, \ varphi)

e (- n →, – φ) {\ displaystyle (- {\ vec {n}}, – \ VECCI)}

(- {\ VEC N }, - \ VARPHI)

rappresenta quindi la stessa rotazione dello spazio.

scriviamo (nx, ny, nz) {\ displaystyle \ sinistra (n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}} destra)}

\ Sinistra (n_ {x}, n_ {y}, n_ {z} \ destra)

le coordinate del vettore dell’unità n → {\ displaystyle {\ vec {n}}}

{\ vec n}

in una base ortonormica diretta (I →, j → k →) {\ displaystyle ({\ vec {i}}, {\ \ vec {j}}, {\ vec {k}}}}}

({\ vec i}, {\ vec j}, {\ vec k} \,

fisso:

nx 2 + ny 2 + nz 2 = ‖ n → ‖ 2 = 1 {\ displaystyle n_ {x} ^ {2} + n_ {y } ^ {2} + n_ {z}} {2} = \ | {\ vec {}}}} ^ {2} = 1}

n_ {x} ^ {2 } + N_ {y} ^ {2} + n_ {z} ^ {2} = \ | {\ vec n} \ | ^ {2} = 1

.

Lasciati → {\ displaystyle {\ vec {u} {}} {\ vec u} qualsiasi vettore. Notton v → {\ displaystyle {\ vec {v}}}

{\ vec {v}}

La sua immagine per rotazione (n →, φ) {\ DisplayStyle ({\ VEC {N}}, \ VECCI)}

({\ VEC N}, \ VARPHI)

.

Custodia speciale Simplemodify

Iniziamo con lo studio del caso particolare n → = k → {\ displaystyle {\ vec {n}} = {\ vec {k}}}

{\ vec n} = {\ vec k}

.

Plan π {\ displaystyle \ mathbf {\ pi} \,}

{\ mathbf \ pi} \,

è quindi L’aereo generato da vettori I → {\ displaystyle {\ vec {i}}}

\ vec. i

e j → {\ displaystyle {\ vec {j}}}

. Vector u → {\ displaystyle {{\ vec {u}}}

{\ vec u}

decompone in un vettore ZK → {\ DisplayStyl Z { \ vec {k}}}

z {\ vec k}

collinear su n → {\ displaystyle {\ vec {n}}}

{\ vec n}

che è invariante per rotazione e un vettore xi → + yj → {\ displaystyle x {\ vec {i}} + y {\ \ vec {j}}}

che subisce rotazione dell’angolo φ {\ displaystyle \ Varphi}

nel piano π {\ displaystyle \ mathbf {\ pi}}

{\ mathbf \ pi }

e può essere applicato a xi → + yj → {\ displaystyle x {\ vec {}} + y {\ vec {j}}}

x {\ vec i} + y {\ vec j}

le formule stabilite nel caso di rotazioni vettoriali piatte.Possiamo scrivere:

z ‘= z {\ displaystyle z’ = z \,}

z '= z \,'=z '= z \,\,

e (x ‘y’) = (cos ⁡ φ – sin ⁡ φ φ ⁡ φ cos ⁡ φ) (xy) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x ‘\\ y’ \ end {patrica }} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ varphi & – \ Sin \ Varphi \\\ Sin \ Varphi & \ cos \ VARPHI \ End {PMATRIX}} {\ Begin}}} x \\ y \ end {pmatrix}}}

{\ begin {patrix} x '\\ y' \ end {Pmatrix}} = {\ Begin {Pmatrix} \ cos \ Varphi - \ Sin \ Varphi \\\ Sin \ Varphi \\ \ Varphi \ warphi \ cos \ Varphi \ end {pmatrix}} {\ begin {patrix} x \\ y \ end {patrix }}'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}{\ begin {patrix} x '\\ y' \ end {Pmatrix}} = {\ Begin {Pmatrix} \ cos \ Varphi - \ Sin \ Varphi \\\ Sin \ Varphi \\ \ Varphi \ warphi \ cos \ Varphi \ end {pmatrix}} {\ begin {patrix} x \\ y \ end {patrix }}\\y\end{pmatrix}}

come sopra,

che può essere scritto nella forma sintetica:

(x ‘y’ z ‘) = (cos ⁡ φ – Sin ⁡ φ 0 sin ⁡ φ cos ⁡ φ 0 0 0 1) (xyz) {\ displaystyle {\ \ begin {pmatrix} x ‘\\ y’ \\ z ‘\ wine {pmatrix}} = {\ begin {patrix} \ cos \ varie & – \ Sin \ VARPHI & 0 \\\ Sin \ Varphi & \ cos \ VARPHI &&& 1 \ End {Pmatrix}} {\ Begin}}} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}}}

{\ begin {pmatrix} x '\\ y' \\ z '\ end {Pmatrix}} = {\ Begin {Pmatrix} \ cos \ Varphi - \ Sin \ Varphi 0 \\\ Sin \ Varphi 0 \\\ Sin \ Varphi \ cos \ Varphi 0 \\ 001 \ end { Pmatrix}} {\ Begin {Pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}}'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi &0\\\sin \varphi &\cos \varphi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\ begin {pmatrix} x '\\ y' \\ z '\ end {Pmatrix}} = {\ Begin {Pmatrix} \ cos \ Varphi - \ Sin \ Varphi 0 \\\ Sin \ Varphi 0 \\\ Sin \ Varphi \ cos \ Varphi 0 \\ 001 \ end { Pmatrix}} {\ Begin {Pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}}\\y\\z\end{pmatrix}}

Casedifier generale Case

Se il vettore dell’unità n → {\ displaystyle {\ vec {n}}}

{\ vec n}

è confrontato con la base ortonormica diretta (I →, j →, k →) {\ displaystyle ({\ vec {i}}, {\ vec {i}}, {\ vec {j}}, {\ vec {k}}) \ ,}

({\ vec i}, {\ vec k}, {\ vec k} \, vec k} \,

che serve a esprimere i componenti, il ragionamento è più delicato.

Il vettore u → {\ displaystyle {\ vec {u}}}

{\ vec u}

decompose nella somma Di (u → ⋅ n →) n → {\ displaystyle ({\ vec {u}}}} clot {\ vec {n}} {\ vec {n}}}

( {\ vec u} \ clot {\ vec n}) {\ vec n}

collinear a n → {\ displaystyle {\ vec {n}}}

{\ vec n}

e invariant per rotazione, e w → = u → – (u → ⋅ n →) n → {\ displaystyle {\ vec {w}} = {\ vec {u}} – ({\ vec {u}}}} clot {\ vec {n}}) {{n}}) {\ vec. {n}}}

{\ vec w} = { \ vec u} - ({\ vec u} \ clot {\ vec n}) {\ vec n}

, elemento di π {\ displaystyle \ mathbf {\ pi} \,}

{\ mathbf \ pi} \,

e che subirà una rotazione in questo piano. Il vettore direttamente ortogonale a w → {\ displaystyle {\ vec {w}}}

nel piano e dello stesso standard è n → ∧ w → {\ displaystyle {\ vec {n}} \ wedge {}} \ div>{\ vec n} \ \ {\ vec n} \ wedge {\ vec w}, quindi l’immagine di w → {\ displaystyle {\ vec {w}}}

{\ vec w}

nella rotazione dell’angolo φ φ { \ DisplayStyle \ Varphi}

è (cos ⁡ φ) w → + (sin ⁡ φ) n → ∧ w → {\ displaystyle (\ cos \ varphi) {\ vec {w}} + (\ Sin \ Virphi) {\ vec {n}} \ wedge {\ vec {w}}}

(\ cos \ VARPHI) {\ vec w} + (\ Sin \ Varphi) {\ vec n} \ wedge {\ vec w}

.

Infine, l’U → {\ displaystyle {\ vec {U}}}} {\ Vec U} Per la rotazione è: v → = (u → ⋅ n →) n → + (cos ⁡ φ) w → + (sin ⁡ φ) n → ∧ w → {\ displaystyle {\ vec {v}} = ({\ vec {U}} \ CDOT {\ vec . {\ vec {n}} + (\ cos \ varphi) {\ vec {w}} + (\ sin \ varphi) {\ vec {n}} \ Wedge {\ vec {w}}}

{\ vec v} = ({\ vec u} \ CDOT {\ vec n}) {\ vec n} + (\ cos \ varphi) {\ vec w} + (\ sin \ varphi ) {\ vec n} \ cuneo {\ vec w}

e se si sostituisce w → {\ displaystyle {\ vec {W}}}

{\ vec w}

per il suo valore di u → – (u → ⋅ n →) n → {\ displaystyle {\ vec {u}} – ({\ vec { u}} \ CDOT {\ vec {}}) {\ vec {n}}}

{\ vec u} - ({\ vec u} \ CDOT {\ vec n} ) {\ vec n}

, si ottiene: v → = (u → ⋅ n →) n → + (cos ⁡ φ) (U → – (U → ⋅ n →) n →) + (Sin ⁡ φ) n → ∧ U → {\ displaystyle {\ vec {v}} = ({\ vec {u}} \ CDOT {\ vec {n}}) {\ vec {n}} + (\ cos \ varphi) ({\ vec {u}} – ({\ vec {u}} \ cdot {\ vec {n}}) {\ vec {NON}}) + (\ Sin \ varphi) {\ vec. {}} \ Wedge {}}

{\ vec v} = ({\ vec u} \ cdot {\ vec n}) {\ n vec} + ({\ vec u} - ({\ vec u} \ cdot {\ vec n}) {\ vec n}) + (\ sin \ varphi) {\ vec n} \ Wedge {\ vec u}

da dove, infine, la formula di rotazione di Rodrigues:

v = → (cos ⁡ φ) u → + (1 – cos ⁡ φ) (u → ⋅ n →) n → + (sin ⁡ φ) (n → ∧ u →) {\ displaystyle {\ vec {v}} = (\ cos \ varphi ) \ {\ vec {u}} + (1- \ cos \ varphi) ({\ vec {u}} \ CDOT {\ vec {n}} \ {\ vec {n}} + (\ sin \ varphi) \, \, \ SINISTRA ({\ vec. {}} \ Wedge {\ vec {u}} \ right)}

{\ COS \ varphi) \ { \ vec u} + (1- \ cos \ varphi) ({\ vec u} \ CDOT {\ vec n} \ {\ VEC n} + (\ Sin \ varphi) \, \, \ SINISTRA ({\ vec n } \ Wedge {\ vec U} \ right)

la formula incorniciata sopra dà la vettore di espressione del V → { \ displaystyle {\ vec {v}}}

{\ vec v}

di un vettore u → {\ displaystyle {\ vec { u}}}

{\ vec u}

qualsiasi, a rotazione (n →, φ) {\ displaystyle ({\ vec {n}}, \ varphi)}

({\ VEC N}, \ VARPHI)

.

Lo stesso risultato può essere presentato nella forma seguente matrice equivalente:

(x ‘y’ z ‘) = m (xyz) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x ‘\\ y’ \\ z ‘\ end {pmatrix}} = m {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}}}

{\ begin {patrix} x '\ \ \ \ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ z' \ end {pmatrix}} = m {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}}'\\y'\\z'\end{pmatrix}}=M{\ begin {patrix} x '\ \ \ \ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ z' \ end {pmatrix}} = m {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}}\\y\\z\end{pmatrix}}

con:

m = (cos ⁡ φ) (1 0 0 0 1 0 0 0 1) + (1 – cOS ⁡ φ) (NX 2 NXNYNXNZNXNYNY 2 NYNZNXNZNZNZ 2) + (SIN ⁡ φ) (0 – NZNYNZ 0 – NX – NYNX 0) {\ displaystyle M = (\ cos \ varphi) {\ begin {} patrice 1 &&&&&& 1 \ end {Patrix}} + (1- \ cos \ varphi) {\ begin {pmatrix} n_ {x} ^ {2} & n_ {x} n_ {y} & n_ {x} n_ {z}} n_ {x} n_ {y} n_ {y} ^ {2} & n_ {y} n_ {z}} n_ {x} n_ {z} & n_ {y} n_ {z} & n_ {z} ^ {2} \} {pmatrix}} + \ (\ Sin \ Varphi) { \ Begin {patrix} 0 & -n_ {z} & n_ {z}} n_ {z} \\ n_ {z}}& 0 & -n_ {x} \\ – n_ {y} & n_ {x}

n_ {x}&

0 \ end {patrix}}}

{\ displaystyle m = (\ cos \ varietfi) {\ begin {patrix} 100 \\ 010 \\ 001 \ end {Pmatrix}} + (1- \ cos \ Varfi) {\ begin {pmatrix} n_ {x} ^ {2} n_ {x} n_ {y} n_ {x} n_ { z} \\ n_ {x} n_ {y} n_ {y}} {2} n_ {y} n_ {z} \ \ n_ {x} n_ {z} n_ {y} n_ {z} n_ {z} ^ {2} \ end {patrice}} + \ (\ sin \ varphi) {\ begin {} 0 patrice-n_ {z} n_ {z} \ n_ {z} 0-n_ {x} \\ - n_ { y} n_ {x} 0 \ end {pmatrix}}}

NotesModifier

Matrix M è chiamato matrice rotazionale. Esso è una matrice ortogonale diretto, il che significa che le sue colonne costituiscono una base ortonormale diretta, o che la sua matrice trasposta è uguale alla sua matrice inversa e che il suo determinante è 1. Al contrario, dato, dato. Qualsiasi rotazione matrice, possiamo Trova facilmente il coseno dell’angolo di rotazione. Infatti, la traccia della matrice (vale a dire la somma degli elementi diagonali) è uguale a 1 + 2 cos ⁡ φ {\ displaystyle 1 + 2 \ cos \ varphi \,}

1 + 2 \ cos \ Varfi \,

.Inoltre, notiamo che: M – T M = 2 (Sin ⁡ φ) (0 – NZNYNZ 0 – NX – NYNX 0) {\ DisplayStyle M – {} ^ {T} M = 2 (\ Sin \ Varphi) {\ Begin {Patrix} 0 & -n_ {z} & n_ {z}} n_ {z} \ n_ _ {z} \1 > 0 & -n_ {x} \\ – n_ {y} & n_ {x} & 0 \ End {Pmatrix}}}

m - {} ^ {t} m = 2 (\ Sin \ Varphi) {\ Begin {Pmatrix} 0-n_ {z} n_ {z} \ n_ {z} 0-n_ {x} \\ - n_ {y} n_ {x} 0 \ end {pmatrix}}

Ciò consente di trovare rapidamente l’asse e il seno associato a rotazione. Efficamente, mu → {\ displaystyle m {\ vec {u}}}

m {\ vec u}

e t mu → {\ displaystyle {} ^ {t} m {\ vec {u}}}

{} ^ {t} m {\ VEC U}

Forma i due lati di un diamante il cui vettore (M – TM) U → = 2 (Sin ⁡ φ) n → ∧ U → {\ DisplayStyle (M – {} ^ {T } m) {\ vec {}} = 2 (\ Sin \ Varphi) {\ vec {n}} \ wedge {\ vec {u}}}

(m - {} ^ { t} m) {\ vec u} = 2 (\ Sin \ Varphi) {\ vec n} \ wedge {\ vec n}

è la diagonale, ortogonale all’asse di rotazione. È il diamante di Olinde Rodrigues.

Uso del quaternionsmodifier

Articolo dettagliato: Quaternioni e rotazione nello spazio.

Puoi anche usare la nozione di quaternioni. Infatti, possiamo calcolare l’immagine v → {\ displaystyle {\ vec {v}} \,}

{\ vec v} \,

vector u → {\ displaystyle {\ vec {u}} \,}

{\ vec u} \,

usando il prodotto quaternions nel Modulo seguente:

(0, V →) = (0, R (φ, n →) (U →)) = (cos ⁡ φ 2, peccato ⁡ φ 2 n → ⋅ (0, u →) ⋅ (cos ⁡ φ 2, – Sin ⁡ φ 2 n →) {\ displaystyle (0, \ {\ vec {v}}) = \ sinistra (0, \ \ mathbf {r} _ {\ sinistra (}, {\ vec {n}} \ Destra)} ({\ vec {u}}}} destra) = (\ cos {\ frac {\ varphi} {2}} , \ \ Sin {\ frac {\ Virfi} {2}}}} {2}}} {\ vec {n}} \ clot (0, \ {\ vec {u}}) \ cdot (\ cos {\ frac {\ varphi} { 2}}, \ – \ Sin {\ frac {\ Virphi} {2}}}}}} {n}}}}

(0, \ {\ Vec v}) = \ sinistra (0, \ {\ mathbf r} _ {{\ sinistra (\ varphi, {\ vec n} \ destra)}} ({\ vec u}) \ destra) = (\ cos { \ Frac \ Varphi 2}, \ \ Sin {\ frac \ VECPHI 2} \ {\ VEC n} \ \ {\ vec n} \ clot (0, \ {\ vec u}) \ cdot (\ cos {\ frac \ varphi 2}, \ - \ Sin {\ frac \ Varphi 2} \ {\ vec n})

composizione di due rotazioni vettorialiModificatore

il composto R 2 ∘ r 1 {\ displaystyle r_ {2} \ Circs r_ {1}}

R_ {2} \ Circ R_ {1}

di due rotazioni vettoriali R 1 = (n → 1, φ 1) {\ DisplayStyle R_ { 1} = ({\ VEC. {1}} _ {1}}} _ {1}, \ VARPHI _ {1})}

R_ {1} = ({\ VEC N} _ {1 }, \ Varphi _ {1})

e r 2 = (n → 2, φ 2) {\ displaystyle r_ {2} = ({\ vec {n}} _ {2}, \ VARPHI _ {2})}

R_ {2} = ({\ VEC N} _ {2}, \ VARPHI _ {2})

dello spazio della dimensione 3 è una rotazione vettoriale. Caratteristiche (N → 3, φ 3) {\ DisplayStyle ({\ VEC {N}} _ {3}, \ VARPHI _ {3})}

Determinato da M 3 – T M 3 {\ displaystyle m_ {3} – {} ^ {t} m_ {3}}

m_ {3} - {} ^ {t} m_ {3}

, dove m 3 {\ displaystyle m_ {3}}

M_ {3}

è il prodotto m 2 m 1 {\ displaystyle m_ {2} M_ {1}}

M_ {2} m_ {1}

delle matrici iniziali di rotazione, o dal prodotto delle quaternioni che definiscono ciascuna delle rotazioni o componendo le formule di Rodrigues relative a ciascuna rotazione.

Troviamo che:

cos ⁡ (φ 3 2) = cos ⁡ (φ 1 2) cos ⁡ (φ 2 2) – SIN ⁡ (φ 1 2) SIN ⁡ (φ 2 2) (n → 1 ⋅ n → 2) {\ displaystyle \ cos ({\ frac {\ varietphi _ {3}} {2}}) = \ cos ({\ frac {\ Varphi _ {1}} {2}}) \ Cos ({\ frac {\ Varphi _ {2}} {2}}) – \ Sin ({\ frac {\ Varphi _ {1}} {2}}) \ Sin ({\ frac {\ Varphi _ {2 }} {2}}) ({\ VEC {1}} _ {1}} CDOT {\ VEC}}} _}}}

\ cos ({\ frac { \ VARPHI _ {3}} 2}) = \ cos ({\ frac {\ Virphi _ {1}} 2}) \ cos ({\ \ frac {\ Varphi _ {2}} 2}) - \ Sin ({ \ Frac {\ varphi _ {1}} 2}) \ Sin ({\ frac {\ Varphi _ {2}} 2}) ({\ vec n} _ {1} \ clot {\ vec n} _ {2 })

sin ⁡ (φ 3 2) n → 3 = cos ⁡ (φ 1 2) sin ⁡ (φ 2 2) n → 2 + cos ⁡ (φ 2 2) sin ⁡ (φ 1 2) N → 1 + SIN ⁡ (φ 1 2) SIN ⁡ (φ 2 2) n → 2 ∧ n → 1 {\ DisplayStyle \ Sin ({\ frac {\ Varphi _ {3}} {2}}) {\ vec {n}} _ {3} = \ cos ({\ frac {\ Varphi _ {1}} {2}}) \ Sin ({\ frac {\ Varphi _ {2}} {2}}) {\ vec {n}} _ {2} + \ cos ({\ frac {\ Varphi _ {2}} {2}}) \ Sin ({\ frac {\ Varphi _ {1}} {2}}) {\ vec. {1}} _ {1} + \ Sin ({\ frac {\ Varphi _ {1}} {2}}} sin ({\ frac {\ Varphi _ {2}} {2}}) {\ vec {n}} _ {2} \ Wedge {\ vec {n}} _ {}}} {1}}

Leave a comment

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *