Formulação Geral:

Deixe E {\ Displaystyle \ Mathbb {E}}

\ mathbb {e}

um espaço de vetor. Um problema de otimização convexo é minimizar uma função convexa f: e → r ¯: = r ∪ {- ∞, + ∞} {\ displaystyle f: \ mathbb {e} \ to {\ bar}}} : = \ mathbb {r} \ copo \ {- \ infty, + \ infty \}}

f: \ mathbb {e} \ to \ bar {\ r}: = \ R \ Cup \ {- \ Infty, + \ Fty \}

on e {\ displaystyle \ mathbb {e}}

\ mathbb {e}

, o que é escrito de uma das seguintes maneiras:

inf x ∈ e f (x) ou inf {f (x): x ∈ e} ou inf f (e) ou {inf F (x) x ∈ E. {\ Displaystyle \ inf _ {x \ in \ mathbb {e \ in \, \, f (x) \ quad {\ mbox {ou}} \ quad \ inf \, \ {f (x): x \ in \ mathbb {e} \ \ quad {\ mbox {\ mbox {ou}} \ quad \ inf \, f (\ mathbb {e}) \ quad {\ mbox {ou}} \ quad \ left \ {{\ begin}} {l} \ inf \, f (x) \\ x \ in \ mathbb {e}. \ end {matray}} \ direito.}

\ inf_ { x \ in \ mathbb {e}} \, f (x) \ quad \ mbox {ou} \ quad \ inf \, \ {f (x): x \ in \ mathbb {e}} \ quad \ mbox { ou} \ quad \ inf \, f (\ mathbb {e}) \ quad \ mbox {ou} \ quad \ left \ {\ begin {matray} {l} \ inf \, f (x) \\ x \ in \ mathbb {e}. \ end {matray} \ logo.

Se você observar

A ≡ Dom ⁡ f: = {x ∈ E: f (x) < + ∞} {\ displaystyle {\ mathcal {a}} \ equiv \ operatorName {DOM} f: = {x \ in \ mathbb {e}: f (x) < + \ infty \}}

{\ mathcal A} \ equiv \ operatorName {DOM} f: = \ {x \ in \ mathbb {e}: f (x) + \ infty \}

o domínio (eficaz) de f {\ displaystyle f}

f

, o profissional O defeito é idêntico ao de minimizar f {\ displaystyle f}

f

em um {\ displaystyle {\ mathcal {}}}

{\mathcal A}{\ mathcal a}

inf x ∈ a f (x). {\ Displaystyle \ inf _ {x \ in {\ mathcal {a}}} \, f (x).}

\ inf_ {x \ in {\ mathcal A}}}} \, f (x).

se a = ∅ {\ displaystyle {\ mathcal {a}} = \ varnothing}

{\ mathcal a} = \ varnothing

, isto é, se f ≡ + ∞ {\ displaystyle f \ equiv + \ Infty}

f \ equiv + \ frety

Esta expressão ainda é válida, pois, por convenção, inf f f (∅) = + ∞ {\ Displaystyle \ inf f (\ varnothing = + \ infty}

\ inf (\ varnothing) = + \ fraty

. O interesse de ter uma função f {\ div>fque pode levar o valor + ∞ {\ displaystyle + \ infty}

+ \ FATTY

É, portanto, introduzir restrições no problema da minimização (a solução do problema é forçada a ser em um {\ displaystyle {\ mathcal {a}}}

{\ mathcal a}

).

SolutionModificador

uma solução (global) de problema inf {f (x): x ∈ e} {\ displaystyle \ inf \ {f (x): x \ in \ mathbb {e} }}

é um ponto x ¯ ∈ E {\ displaystyle {\ bar {x}} \ in \ mathbb {e}}

\ bar {x} \ in \ mathbb {e}

De tal modo que

∀ x ∈ E: f (x ¯) ≤ f (x). {\ Displaystyle \ forell \, x \ in \ mathbb {e}: \ quad f ({\ bar f ({\ bar} \ leq f (x).}

\ Forell \, x \ in \ mathbb {e}: \ quadf (\ bar {x}) \ leq f (x).

Claramente, se f {\ displaystyle f}

f

leva o valor – ∞ {\ displaystyle – \ infty}

- \ FATTY

no AF (x ¯) = – ∞ {\ displaystyle f ({\ bar}}) = – \ infty}

f (\ bar {x}) = - \ FATTY

; e se f {\ displaystyle f}

f

não é identicamente igual a + ∞ {\ displaystyle + \ infty}

+ \ FATTY

no AF (X ¯) < + ∞ {\ displaystyle f ({\ bar {x}}) < + \ infty}

f (\ bar {x}) + \ infty

.

se e {\ displaystyle \ mathbb {e}}

\ mathbb {e}

é um espaço vetorial topológico, x ¯ {\ Displaystyle {\ bar {x}}}

{\ bar {x}}

é uma solução local do problema inf {f (x) : x ∈ e} {\ displaystyle \ inf \ {f (x): x \ in \ mathbb {e} \}}

\ inf \ {f (x): x \ em \ mathbb {e}}

se

∃ v bairro de x ¯, ∀ x ∈ v: f (x ¯) ≤ f (x). {\ displaystyle \ existe \, v \ ~ {\ mbox {\ bar}} {\ bar {x}}, \ quad \ forall \, x \ in v: \ quad f ({\ bar} \ leq f (x).}

\ existe \, v \ mbox} \ bar \ bar {x}, \ quad \ forall \, x \ in v: \ quadf (\ bar {x}) \ leq f (x).

Na realidade, uma solução local é uma solução global no sentido anterior.

as soluções de um problema de otimização convexa -.

  1. Todas as soluções de um problema de otimização convexa é convexa
  2. se f {\ DisplayStyle F}
    F

    é estritamente convexa, o problema de otimização convexa tem no máximo uma solução.

  3. se e {\ displaystyle \ mathbb {e}}
    \ mathbb {e}

    é um topológica vector espaço e se x ¯ {\ displaystyle {\ bar {x}}}

    {\ bar {x}}

    é uma solução local de um problema de optimização convexa, então x ¯ {\ DisplayStyle {\ bar {x}}}

    {\ Bar {x}}

    é uma solução global do problema.

funcional constraintsModifier

Em vez de dar valor infinito ao critério fora do conjunto elegível, As restrições podem ser explicitamente especificadas. O problema está escrito, por exemplo, da seguinte maneira

{Inf f (x) x ∈ Ca x = bc (x) ⩽ 0, {\ displaystyle \ LEFT \ {{\ begin {array} {G} \ inf \, f (x) x \\ \ c \\ em ax = b \\ c (x) \ leqslant 0, \ final {matriz}} \ direito.}

\ left \ {\ begin {array} {L} \ inf \, f (x) \\ x \ in c \\ ax = b \\ c ( x) \ Leqslant0, \ final {matriz} \ direita

na qual um minimiza uma função f:. x ∈ E ↦ F ( x) ∈ R {\ DisplayStyle F: x \ in \ mathbb {e} \ Mapsto F (x) \ in \ mathbb {r}}

f: x \ em \ mathbb {e} \ mapsto f (x) \ in \ r

com valores finitos e o desconhecido x ∈ e {\ displaystyle x \ in \ mathbb {e}}

x \ in \ mathbb {e}

deve

  • pertencem a um conjunto convexo c {\ displaystyle c}
    c

    de e {\ displaystyle \ mathbb {e}}

    \ mathbb {e}

    ,

  • verificar uma restrição de aflio a x = b {\ displaystyle ax = b}
    AX = B

    (A: e → f {\ displaystyle A: \ mathbb {e} \ mathbb {f}}

    a: \ mathbb {e} \ to \ mathbb {f}

    é um aplicativo linear entre e {\ displaystyle \ mathbb {e}}

    \ mathbb {e}

    e outro espaço vetorial F {\ displaystyle \ mathbb {f}}

    \ mathbb {f}

    e b ∈ F {\ displaystyle b \ in \ mathbb {f}}

    b \ in \ mathbb {f}

    ) e

  • Verificar um número finito de Convex limitações funcionais dado por uma função de C: e → RM {\ DisplayStyle C: \ mathbb {e} \ a \ mathbb {r} ^ {m}}
    C: \ mathbb {e } \ a \ r ^ m

    incluindo o m {\ DisplayStyle m}

    m

    componentes são convexas e l Vector desigualdade C (x) ⩽ 0 {\ displaystyle C (x) \ Leqslant 0}

    C (x) \ Leqslant0

    deve ser entendido componente por componente (-lo é equivalente ao m {\ displaystyle m}

    M

    restrições de desigualdade CI (x) ⩽ 0 {\ displaystyle C_ {I} (x) \ Leqslant 0}

    C_I (x) \ Leqslant0

    para i ∈] {\ displaystyle i \ in \!]}

    i \ in \!] . div>)

    O conjunto elegíveis deste problema é convexa e está escrito

    x: = {x ∈ E: X ∈ C, AX = B, C (x) ⩽ 0}. {\ Displaystyle x: = \ {x \ in \ mathbb {e}:. X \ em C, ~ ax = b, ~ c (x) \ leqslant 0 \}}

    x: = \ {x \ in \ mathbb {e}: x \ in c, ~ AX = B, ~ c (x) \ leqslant0}.

    O problema é bem convexa, uma vez que é minimizar on e {\ displaystyle \ mathbb {e}}

    \ mathbb { e}

    a função f ~: x ∈ e ↦ F ~ (x) ∈ R ¯ {\ displayStyle {\ til {f}}: x \ in \ mathbb {e} \ Mapsto {\ tilde {f}} (x) \ in {\ bar {\ mathbb {r}}}}

    \ tild {f}: x \ in \ mathbb {e} \ Mapsto \ tilde {f} (x) \ in \ bar {\ r}

    definido pela

    f ~ (x) = {f (x ) se x ∈ X + ∞ caso contrário, {\ DisplayStyle {\ tilde {f}} (x) = \ left \ {{\ begin {array} {ll} f (x) & {\ mbox {if}} ~ x \ in x \\ + \ infty & {\ mbox {}} caso contrário,} {array}} \ right.}

    \ tild {f} (x) = \ left \ {\ begin {array} {ll} f (x) \ mbox {if} ~ x \ in x \\ + \ infty \ mbox {de outro modo} \ end {matray} \ logo.

    Qual é uma função convexa.

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