um pequeno rhombicosidodecaedron.

Um poliedro é uma forma tridimensional que consiste em um número finito de rostos poligonais que são partes de planos; Os rostos se encontram ao longo das bordas que são segmentos certos, e as bordas são encontradas nos pontos chamados picos. Cubos, prismas e pirâmides são exemplos de poliedros.

Na maioria das vezes, o poliedro delimita um volume limitado de espaço tridimensional. Às vezes, esse volume interno é considerado uma parte do poliedro; Outras vezes, apenas a superfície é considerada. O polyhedra tradicional inclui os cinco polyhedra convexos regulares chamados Platão Sólidos: Tetrahedron (4 faces), cubo (ou hexadron) (6 lados), o octaedro (8 faces), odecaedro regular (12 faces) e icosahedron (20 faces). Outro polyedra tradicional são os quatro sólidos não-convexos (Kepler-Poinsot Solids), os treze arquímpias de treze sólidos (cubocate, icosidodromedro, tetraedro truncado, cubo truncado, octaedro truncado, truncado dodecaedro, truncado truncado, rhombicuboctaedron, Cubo Cúbico, Dodecaedro e RhombicosidoDoDron) e os restantes 53 poliedros uniformes.

Menor polyedred (

Um poliedro tem pelo menos 4 faces, 4 vértices e 6 bordas. O menor poliedro é tetraedro.

poliedramodificador simétrico

Você pode definir várias classes de polyhedra tendo simetrias específicas:

  • Cúpula uniforme: se todos os vértices forem O mesmo, no sentido de que, para duas cimeiras, há uma simetria do poliedro aplicando o primeiro isometricamente no segundo;
  • borda uniforme: se todas as bordas forem as mesmas, no sentido em que por dois bordas, há uma simetria do poliedro aplicando o primeiro isometricamente no segundo;
  • uniforme (en): se todos os rostos são os mesmos, no sentido onde por dois lados, há uma simetria do poli -edro aplicando o primeiro isometricamente no segundo;
  • quasi regulares: se o poliedro é de borda uniforme, mas não de ventilação uniforme ou uniforme;
  • semi -regulier: se o poliedro é uma cúpula uniforme, mas sem rosto uniforme e cada rosto es t um polígono regular. (Esta é uma das muitas definições do termo, dependendo do autor, que se sobrepõem à categoria quase regular);
  • regular: se o poliedro é uma parte superior uniforme, borda uniforme e uniforme. (A uniformidade dos vértices e a uniformidade das bordas combinadas implica que os rostos são regulares);
  • uniforme: se o poliedro é um vértice uniforme e cada face é um polígono regular, ou seja, é regular ou Semi-regular.

É sólido sólido um sólido cujos rostos são regulares e todos os vértices idênticos. Assim, portanto, todos os sólidos regulares e semi-regulares. Eles estão em todos os 75, a quem é necessário adicionar as duas famílias infinitas de prismas e antiprismos.

É claro que é fácil torcer tal poliedra, para que eles não sejam mais simétricos. Mas quando um nome de poliedro é dado, como a icosidodecaedro, a geometria mais simétrica está sempre envolvida, salvo indicação em contrário.

Os grupos de simetria poliédrica são todos grupos únicos e incluem:

  • t – simetria tetraédrica quiral; o grupo de rotação do tetraedro regular; ordem 12.
  • td – simetria tetraédrica completa; o grupo de simetria de tetraedro regular; encomenda 24.
  • th – simetria piritoédrica; encomenda 24. A simetria de um piritohedron.
  • simetria octaédrica O – quiral; o grupo de rotações do cubo e o octaedro regular; encomenda 24.
  • oh – simetria octaédrica completa; o grupo de simetria do cubo e o octaedro regular; encomenda 48.
  • i – simetria icosaedrique quiral; o grupo de rotações de icosaedro regular e dodecaedro; encomenda 60.
  • ih – simetria icosédrica completa; o grupo de simetria de icossaedro regular e dodecaedro; Ordem 120.
  • cnv – simetria piramidal com n dobras
  • dnh – simetria prismática com n dobras
  • dnv – simetria antiprismática com n dobras

Ashedra de simetria quiral não têm simetria axial e, portanto, têm duas formas enantiomórficas que são reflexos entre si. O polyhedra amaciado tem essa propriedade.

poliedramodificador regular

Um poliedro regular tem rostos regulares e vértices regulares. O duplo de um poliedro regular é tão regular.

Vamos de um pico e levar os pontos a uma determinada distância em cada bordas. Relações estes pontos, recebemos o polígono do topo. Se é regular, é dito que o topo é regular. Um poliedro é regular se consistir de todas as mesmas e regulares rostos, e que todos os seus vértices são idênticos. Eles são nove, distribuídos classicamente em duas famílias:

  • os cinco sólidos sólidos ou poliedros convexos regulares: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro regular e icosoedro regular. Platão considerou esses sólidos como a imagem da perfeição. Matemática moderna anexar estes exemplos à noção de grupo.
  • os cinco sólidos sólidos

    • o polyhedra de kerpler-poinsot, ou polyhedra regularmente encoberto.
    Um rosto único é colorido em amarelo e rodeado por vermelho para ajudar a identificar os rostos.

    Quasi Poliercers regulares e duuxmodificador

    Quasi regularmente Polyhedra são regulares e uniformes. Há dois convexos:

    cuboctahedron.jpg

    Quase regular Poliedra dupla são bordas uniformes e face uniforme (in). Há dois convexos, em correspondência com os dois anteriores:

    rhombicdodeecahedron.jpg
    rhombictriacontohedron .Jpg

    Poliedra semi-regular e seu duuxModificador

    O termo semi-regular é definido de forma diferente. Uma definição consiste em “Uniform Summit Polyhedra com duas ou mais faces poligonais”. Eles são realmente uniformes polyhedra que não são regulares nem quase regulares.

    Um poliedro é semi-regular se seus rostos consistirem em vários tipos de polígonos regulares, e que todos os seus vértices são idênticos. Assim, por exemplo, os sólidos Arquimedes, prismas e antiprismas. A terminologia não parece bastante parada. Às vezes falamos de sólidos semi-regular da primeira espécie para designar aqueles desses sólidos que são convexos e uniformes sólidos para o caso geral. Poliedra catalã não são semi-regulares, mas têm rostos idênticos e picos regulares. Tal Poliedra Eles às vezes são chamados semi-regular da segunda espécie.

    Poliedra convexo e seus duals incluem os conjuntos de:

    Td> antiprismos

    uniforme convexo dual convexo uniforme estrelado dupla estrela
    sólidos sólidos sólidos de kepler-poinsot quasi regular Arquimedes sólidos catalão sólido (nenhum nome especial) (sem nome especial)
    semi-regular (sem nome especial) ( Nenhum nome especial)
    prismas diamantes prismas estrela diamantes da estrela trapezohedra antiprismas estrela trepadeiras estrelado

    Também há muitos poliedros uniformes não convexos, incluindo exemplos de vários tipos de prismas.

    PoliderserModificador

    A nobre poliedro (en) é tanto isohedric (fr) (lados iguais) e isogonal (cantos iguais). Além de polyhedra regular, há muitos outros exemplos.

    O poliedro duplo de um nobre é também um poliedro nobre.

    outro poliedramodificador regularmente pauloso

    regular FacesModificador de Igual

    Algumas famílias de Polyhedra, onde cada face é um polígono do mesmo tipo:

    • Deltahedra tem triângulos equilaterais para rostos.
    • com Em relação ao polyhedra cujos rostos são todos os quadrados: há apenas o cubo, se as faces coplanares não forem permitidas, mesmo que estejam desconectadas. Caso contrário, há também o resultado da colagem de seis cubos nos rostos de um, a cada sete do mesmo tamanho; Tem 30 rostos quadrados (contando para rostos desconectados no mesmo plano que separados).Isso pode ser estendido para uma, duas ou três direções: podemos considerar a união de um grande número arbitrário de cópias dessas estruturas, obtidas por traduções de (expressas em tamanhos de cubos) (2.0.0), (0.2.0) e / ou (0,0,2), portanto, com cada par adjacente com um cubo comum. O resultado pode ser qualquer conjunto de cubos conectados com as posições (A, B, C), com inteiros A, B, C ou um no máximo é peer.
    • Não há nome. Particular para poliedra Tenha todos os rostos na forma de pentágonos equiláteros ou pentagramas. Há uma infinita deles, mas apenas um é convexo: dodecaedro regular. O resto é montado por (colagens) combinações de polyhedra regular descritos acima: o dodecahedron regular, a pequena estrela do dodecahedron, a grande estrela do dodecaedron e o grande icossaedro.

    não há poliedro cujos rostos são todos idênticos e que são polígonos regulares com seis lados ou mais porque o ponto de encontro de três hexágonas regulares define um plano. (Ver infinito oblíqua poliedro para exceções).

    deltahedresjodificador

    um poliedro cujos rostos são todos os triângulos equiláteros. Há um infinito, mas apenas oito são convexos:

    • 3 poliedros regulares convexos (3 dos sólidos sólidos)
      • tetrahedron
      • octaedron
      • icosahedron
    • 5 polyhedra não uniforme convexo (5 de sólidos Johnson)
      • diamante triangular
      • diamante pentagonal
      • disfenóide adouci
      • triangular prism triatmenti
      • diamante quadrado girolangled

    os sólidos de JohnsonModifier

    Norman Johnson procurou poliedra não uniforme com rostos regulares. Em 1966, ele publicou uma lista de 92 sólidos convexos, agora conhecidos como sólidos de Johnson, e deu-lhes seus nomes e números. Ele não provou que eles eram apenas 92, mas ele conjetou que não havia outros. Victor Zalgaller (en), em 1969, demonstrou que a lista de Johnson estava completa.

    Outras famílias poliedresmodir

    piramidsModificador

    pirâmides são auto-sustentados.

    Stelações e facesModificador

    • a estelação de um poliedro é o processo de expansão dos rostos (em seus planos), isto é, eles se reúnem para formar um novo poliedro.

      Este é o recíproco exato do faceset que é o processo de remoção partes de um po Lyedre sem criar novas cúpulas. O faceset fornece, entre outras coisas, muitos novos sólidos semi-regulares côncavos. Nós construímos novos rostos regulares agrupando as bordas de um poliedro semi-regular. O mais simples é um hepathedra construído de octaedro, composto por três rostos quadrados e quatro rostos triangulares.

      troncaturesModificador

      Esta é a operação de planejar um pico ou borda. Ele mantém as simetrias do sólido.

      Modificador de truncamento de mola

      Esta operação torna possível obter sete dos sólidos de Arquimedes dos sólidos de sólidos. Na verdade, percebemos que mais e mais as bordas de um cubo é sucessivamente obtida o cubo truncado, o cuboCtaedro, o octaedro truncado e finalmente o octaedro. Podemos também seguir esta série na outra direção.

      Do dodecahedron regular Obtemos o Dodecahedron truncado, o icossidodecaedro, o icossadro truncado (que dá a sua forma ao futebol), depois o octaedro.

      O tetraedron dá ao tetraedro truncado.

      Você pode aplicar esta operação ao grande dodecaedro ou para o grande icossaedro e obter sólidos uniformes côncavos.

      truncamento das bordas modificadas

      De um cubo, esta operação sucessivamente dá um cuboctaedron, depois um dodecaedro rhombic.

      De um dodecahedron regular, obtemos icosidodecaedro. Então o triaconomedron rombico.

      Os compostos compostos

      Os compostos poliédricos são formados como compostos de dois polyedra e muito mais.

      Estes compostos freqüentemente compartilham os mesmos vértices que outros poliedros e são frequentemente formados por estelação. Alguns estão listados na lista de modelos de Wenninger Polyhedron.

      o zonohedresmoder

      um zonohedron é um poliedro convexo, onde cada face é um polígono com uma simetria inversa ou, de forma equivalente, rotações a 180 °.

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