Matricielledifier escrevendo

Artigo detalhado: Matriz de rotação.

no espaço euclidean dimensionado 3 , uma rotação de vetor é definida por:

  • um vector unitário n → {\ displaystyle {\ vec {n}}}
    {\ vec n}

    , que determina o seu eixo: a direita dos vectores invariantes por esta rotação de vetores é gerada e orientada por este vetor;

  • seu ângulo {\ displaystyle \ varphi \,}
    \ varphi \,

    , a da rotação lisa associada, restriction desta rotação para o plano π {\ displaystyle \ mathbf {\ pi} \ }

    {\ mathbf \ pi} \,

    ortogonal no eixo.

l orientação deste plano é determinado pela escolha da orientação do eixo. Casais (n →, φ) {φ) {\ displaystyle ({\ vec {n}}, \ varphi)}

({\ vec n}, \ varphi)

e (- n →, – φ) {\ displaystyle (- {\ vec {n}}, – \ varphi)}

(- {\ vec n }, - \ varphi)

Portanto, represente a mesma rotação do espaço.

nós escrevemos (nx, ny, nz) {\ displaystyle \ left (n_ {x}, n_ {y}, n_ {z} \}

\ \ Left (n_ {x}, n_ {y}, n_ {z} \ direito)

as coordenadas da unidade vector n → {\ displaystyle {\ vec {n}}}

{\ vec n}

em uma base ortonormal direta (i →, J → k →) {\ displaystyle ({\ vec {}} {\ vec {j}}, {\ vec {k}} \,}

({\ vec i}, {\ vec j}, {\ vec k}} \,

fixo:

nx 2 + ny 2 + nz 2 = → → → {\ displaystyle n_ {x} ^ {2} + n_ {2} + n_ {2 } ^ {2} + n_ {z} ^ {2} = \ | {\ vec {}} \ | ^ {2} = 1}

n_ {x} ^ {x} ^ {X} ^ {2 } + N_ {y} ^ {2} + n_ {z} ^ {2} = \ | {\ vec n} {} ^ ^ ^ {2} = 1

.

permite u → {\ displaystyle {\ vec {u} {}} {\ vec u} qualquer vetor. Noton v → {\ displaystyle {\ vec {v}}}

{\ vec {v}}

sua imagem por rotação (n →, φ) {\ Displaystyle ({\ vec {n}}, \ varphi)}

({\ vec n}, \ varphi)

.

caso especial simplemodify

vamos começar com o estudo do caso específico n → = k → {\ displaystyle {\ vec {n}} = {\ vec}

{\ vec n} = {\ vec}

.

plano π {\ displaystyle \ mathbf {\ pi} \,

{\ mathbf \ pi} \,

é então o avião gerado por vetores i → {\ displaystyle {\ vec {i}}}

\ vec. I

e j → {\ displaystyle {\ vec {j}}}

. Vector u → {\ displaystyle {\ vec {u}}}

{\ vec u}

decompõe em um zk → {\ displaystyl z vector {\ displaystyl z \ vec {k}}}

z {\ vec k}

collinear to n → {\ displaystyle {\ vec {n}}}

{\ vec n}

que é invariante por rotação, e um vector xi → + yj → {\ displaystyle x {\ vec {i}} + y {\ vec {j}}}

que sofre rotação de ângulo φ {\ displaystyle \ varphi}

no plano π {\ displaystyle \ mathbf {\ pi}}

e pode ser aplicado ao xi → + yj → {\ displaystyle x {\ vec {}} + y {\ vec}}}

x {\ vec i} + y {\ vec j}

As fórmulas estabelecidas no caso de rotações vetoriais planas.Podemos escrever:

z ‘= z {\ displaystyle z’ = z \,}

z '= z \,'=z '= z \,\,

e (x ‘y’) = (cos ⁡ φ – pecado ⁡ ⁡ φ cos ⁡ φ) (xy) {\ displaystyle {\ começo {pmatrix} x ‘\\ y’ \ end {patrul }} = {\ começo {pmatrix} \ cos \ varphi & – \ SIN \ varphi \\\ sin \ varphi & \ cos \ varphi \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}}}

{\ begin {patrule} x '\\\' \\\ '\\ \\ {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ varphi - \ SIN \ varphi \\\ sin \ varphi \ cos \ varphi \ end {pmatrix}} {\ begin {patrule} x \\ y \ end {patrul }}'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}{\ begin {patrule} x '\\\' \\\ '\\ \\ {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ varphi - \ SIN \ varphi \\\ sin \ varphi \ cos \ varphi \ end {pmatrix}} {\ begin {patrule} x \\ y \ end {patrul }}\\y\end{pmatrix}}

como acima,

que pode ser escrito na forma sintética:

(x ‘y’ z ‘) = (cos ⁡ φ – pecado ⁡ φ 0 pecado ⁡ 0 0 0 1) (xyz) {\ displaystyle {\ começo {pmatrix} x ‘\\ y’ \\ z ‘\ end {pmatrix}} = {\ começo {patrix} \ cos \ varphi & – \ SIN \ varphi & 0 \\\ sin \ varphi & \ cos \ varphi &&& 1 \ final {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}}}

casedifier geral Caso

Se a unidade vector n → {\ displaystyle {\ vec {n}}}

{\ vec n}

é qualquer comparado com a base ortonormal direta (i →, j → k →) {\ displaystyle ({\ vec {i}}, {\ vec {j}}} \ vec {\ vec} \ }

({\ vec i}, {\ vec k}, {\ vec k}, {\ vec k} \,

que serve para expressar os componentes, o raciocínio é mais delicado.

o vector u → {\ displaystyle {\ vec {u}}}

{\ vec u}

decompõe na soma De (u → → →) n → {\ displaystyle ({\ vec {u}} \ cdot {\ vec {n}}}}}}}}

( {\ vec u} \ cdot {\ vec n}) {\ vec n}

collinear to n → {\ displaystyle {\ vec {n}}}

{\ vec n}

e invariante por rotação e w → = u → – (u → ⋅ n →) n → {\ displaystyle {\ vec {w}} = {\ vec {u}} – ({\ vec {u}} \ cdot {\ vec {n}}) {\ vec. {n}}}

{\ vec w} = { \ vec u} - ({\ vec u} \ cdot {\ vec n}) {\ vec n}

, elemento de π {\ displaystyle \ mathbf {\ pi} \,}

{\ mathbf \ pi} \,

e que sofrerá uma rotação neste plano. O vetor diretamente ortogonal para w → {\ displaystyle {\ vec {w}}}

{\ vec w}

no plano e do mesmo padrão é n → ∧ w → {\ displaystyle {\ vec {n}} \ cunha {}} \ div>{\ vec n} \ wedge {\ vec w}, então a imagem de w → {\ displaystyle {\ vec {w}}}

{\ vec w}

na rotação de canto { \ displaystyle \ varphi}

é (cos ⁡ φ) w → + (pecado ⁡ φ) n → → → {→ {\ displaystyle cos \ varphi) {\ vec {w}} + (\ sin \ varphi) {\ vec {n}} \ wedge {\ vec {w}}}

(\ cos \ cos} varphi) {\ vec w} + (\ sin \ varphi) {\ vec n} \ wedge {\ vec w}

.

Finalmente, o u → {\ displaystyle {\ vec {u}}}} {\ vec u} por rotação é: v → = (u → → →) n → + (cos ⁡ φ) w → + (pecado ⁡ φ) n → → → → {\ displaystyle {\ vec {v}} = ({\ vec} {}} \ cdot {\ vec . {\ vec {n}} + (\ cos \ varphi) {\ vec {w}} + (\ SIN \ varphi) {\ vec {n}} \ wedge {\ vec {w}}}

{\ vec v} = ({\ vec u} \ cdot {\ vec n}) {\ vec n} + (\ cos \ varphi) {\ vec w} + (\ sin \ varphi ) {\ vec n} \ wedge {\ vec w}

e se você substituir w → {\ displaystyle {\ vec {w}}}

{\ vec w}

pelo seu valor u → – (u → ⋅ n →) n → {\ displaystyle {\ vec {u}} – ({\ vec} – ({\ vec} u}} \ cdot {\ vec {}}) {\ vec {n}}}

{\ vec u} - ({\ vec u} \ cdot {\ vec n}} ) {\ vec n}

, obtemos: v → = (u → ⋅ n →) n → + (cos ⁡ φ) (u → → n →) n → (u → → n →) n →) + (Pecado ⁡ φ) n → → → {\ displaystyle {\ vec {v}} = ({\ vec} {u}} \ cdot {\ vec {n}}) {\ vec {n}} + cos \ varphi) ({\ vec {u}} – ({\ vec} {u}} \ cdot {\ vec {n}}) {\ vec {não}}) + (\ SIN \ varphi) {\ vec. {}} cunha {}}

{\ vec v} = ({\ vec u} \ cdot {\ vec n}) {\ vec n} + ({\ vec u} - ({\ vec u} \ cdot {\ vec n}) {\ vec n}) + (\ SIN \ varphi) {\ vec n} \ wedge {\ vec u}

De onde finalmente a fórmula de rotação de Rodrigues:

v → = (cos ⁡ φ) u → + (1 – cos ⁡ φ) (u → ⋅ n →) n → + (sin ⁡ φ) (n → φ →) → {\ displaystyle {\ vec {v}} = (\ cos \ varphi ) {\ vec {u}} + (1- \ cos \ varphi) ({\ vec {u}} \ cdot {\ vec {n}}}}} + (\ sin \ varphi) \, \, \ \ Left ({\ vec. {}} \ Wedge {\ vec {\ vec {u}} \ direita)}

{\ cos \ varphi) {\ cos \ varphi \ vec u} + (1- \ cos \ varphi) ({\ vec u} \ cdot {\ vec n} {\ vec n} + (\ sin \ varphi) \, \, \ left ({\ vec n } \ Wedge {\ vec u} \ direito)

a fórmula enquadrada acima dá a expressão de vetor do v → { \ Displaystyle {\ vec {v}}}

{\ vec v}

de um vector u → {\ displaystyle {\ vec {\ você}}}

{\ vec u}

qualquer, por rotação (n →, φ) {\ displaystyle ({\ vec {n}}, \ varphi)}

({\ vec n}, \ varphi)

.

O mesmo resultado pode ser apresentado na seguinte forma de matriz equivalente:

(x ‘y’ z ‘) = m (xyz) {\ displaystyle {\ Comece {pmatrix} x ‘\\ y’ \\ z ‘\ final {pmatrix}} = m {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}}}

{\ começo {patrule} x '\ \ \ \ \\ z' \ end {pmatrix}} = m {\ começo {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}}'\\y'\\z'\end{pmatrix}}=M{\ começo {patrule} x '\ \ \ \ \\ z' \ end {pmatrix}} = m {\ começo {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}}\\y\\z\end{pmatrix}}

m = (cos ⁡ φ) (1 0 0 0 1 0 0 0 0 1) + (1 – COS ⁡ φ) (NX 2 Nxnynxnznxnyny 2 Nynznxnznznz 2) + (SIN ⁡ φ) (0 – Nznynz 0 – NX – Nynx 0) {\ displaystyle m = (\ cos \ cos varphi) {\ começo {patrix} 1 &&&&&& 1 \ end {patrule}} + (1- \ cos \ varphi) {\ begin {pmatrix} n_ {x} ^ {2} & n_ {x} n_ {x} n_ {y} & n_ {x} n_ {z} \\ n_ {x} n_ {y} n_ {y} ^ {2} & n_ {y} n_ {z} \\ n_ {x} n_ {z} & n_ {y} n_ {z} & n_ {z} ^ {z} ^ {2} \ end {pmatrix}} + \ (\ sin \ varphi) { \ iniciar {patrix} 0 & -n_ {z} & n_ {z} {z} \\ n_ {z} \& 0 & -n_ {x} \\ – n_ {y} & n_ {x} & 0 \ end {patrix}}}

{\ displaystyle m = (\ cos \ varphi) {\ começo {patrule} 100 \\ 010 \\ 001 \ end {pmatrix}} + (1- \ cos \ varphi) {\ begin {pmatrix} n_ {x} ^ {2} n_ {x} n_ {y} n_ {x} n_ {x} n_ {x} n_ {x} n_ {x} n_ { z} \\ n_ {X} n_ {y} n_ {y} {2} n_ {y} n_ {z} \ \ n_ {x} n_ {z} n_ {z} n_ {z} n_ {z} n_ {z} n_ {z} n_ {z} n_ {z} n_ {z} n_ {z} n_ {z} n_ {z} n_ {z} n_ {z} n_ {z} n_ {z} n_ {z} n_ {z} n_ {z} n_ {z} ^ {2} \ end {patrix}} + \ (\ sing \ varphi) {\ begin {patrix} 0-n_ {z} n_ {z} \ n_ {z} 0- n_ {x} \ \ {x} \\ - n_} y} n_ {x} 0 \ end {pmatrix}}}

noteModificador

matriz m é chamado de matriz rotacional. É uma matriz ortogonal direta, o que significa que suas colunas formam uma base ortonormal direta, ou que sua matriz transposta é igual à sua matriz inversa e que seu determinante é 1. Por outro lado, dado, dado. Qualquer matriz de rotação, podemos Encontre facilmente o cosseno do ângulo de rotação. De fato, o traço da matriz (isto é, a soma de seus elementos diagonais) é igual a 1 + 2 cos ⁡ φ φ {\ displaystyle 1 + 2 \ cos \ varphi \,}

1 + 2 \ cos \ varphi \,

.Além disso, notamos que: m – t m = 2 (sin ⁡ φ) (0 – nznynz 0 – nx – nynx 0) {\ m displaystyle – {} ^ {t} m = 2 (\ sin \ varphi) {\ begin {Patrix} 0 & -n_ {z} & n_ {z} \\ n_ {z} \& 0 & -n_ {x} \\ – n_ {y} & n_ {x} & 0 \ end {pmatrix}}}

m - {} ^ {T} m = 2 (\ sin \ varphi) {\ begin {pmatrix} 0-N_ {z} n_ {z} \ N_ {z} 0-N_ {x} \\ - N_ {y} N_ {x} 0 \ final {pmatrix}}

Isso permite encontrar rapidamente o eixo e sinusal associada com rotação. Efftrically, MU → {\ DisplayStyle m {\ vec {u}}}

m {\ vec u}

e t mu → {\ displaystyle {} ^ {t} m {\ vec {u}}}

{} ^ {T} m {\ vec u}

formam os dois lados de um diamante cujo vector (m – TM) u → = 2 (sin ⁡ φ) n → ∧ u → {\ DisplayStyle (m – {} ^ {t } m) {\ vec {}} = 2 (\ sin \ varphi) {\ vec {n}} \ wedge {\ vec {u}}}

(m - {} ^ { t} m) {\ vec u} = 2 (\ sin \ varphi) {\ vec n} \ wedge {\ vec u}

é a diagonal, ortogonal ao eixo de rotação. É o diamante de Olinde Rodrigues.

Uso de QuaternionsModifier

artigo em detalhes:. Quaternions e rotação no espaço

Você também pode usar a noção de quaternions. Na verdade, podemos calcular a imagem V → {\ DisplayStyle {\ vec {v}} \,}

{\ vec v} \,

Vector U → {\ displaystyle {\ vec {u}} \,}

{\ vec u} \,

usando o produto Quaternions na seguinte forma:

(0, V →) = (0, r (φ, n →) (L →)) = (cos ⁡ φ 2, pecado ⁡ φ 2 n → ⋅ (0, u →) ⋅ (cos ⁡ φ 2, – sin ⁡ φ 2 n →) {\ displaystyle (0, \ {\ vec {v}}) = \ ESQUERDA (0, \ \ mathbf {R} _ {\ ESQUERDA (}, {\ VEC {N}} \ DIREITA)} ({\ VEC {L}}} \ DIREITA) = (\ COS {\ FRAC {\ varphi} {2}} , \ \ Sin {\ Frac {\ varphi} {2}} \ {\ vec {N}} \ CDOT (0, \ {\ vec {u}}) \ CDOT (\ cos {\ Frac {\ varphi} { 2}}, \ – \ Sin {\ frac {\ varphi} {2}} \ {\ vec {n}}}}

(0, \ {\ VEC V}) = \ ESQUERDA (0, \ {\ mathbf r} _ {{\ ESQUERDA (\ varphi, {\ vec n} \ direita)}} ({\ vec u}) \ dIREITA) = (\ COS { \ Frac \ varphi 2}, \ \ Sin {\ Frac \ varphi 2} \ {\ vec n} \ cdot (0, \ {\ vec u}) \ cDOT (\ cos {\ Frac \ varphi 2}, \ - \ SIN {\ frac \ varphi 2} \ {\ vec n})

Composição de dois vectores rotationsModifier

O composto R2 ∘ R1 {\ DisplayStyle R_ {2} \ Circ r_ {1}}

r_ {2} \ circ R_ {1}

de duas rotações vetor R 1 = (N → 1, φ 1) {\ displayStyle R_ { 1} = ({\ vec. {1}} _ {1}, \ varphi _ {1})}

r_ {1} = ({\ vec n} _ {1 }, \ varphi _ {1})

e R 2 = (N → 2, φ 2) {\ DisplayStyle R_ {2} = ({\ vec {n}} _ {2}, \ varphi _ {2})}

r_ {2} = ({\ vec n} _ {2}, \ varphi _ {2})

O espaço de dimensão de 3 é uma rotação de vector. Características (N → 3, φ 3) {\ displaystyle ({\ vec {n}} _ {3}, \ varphi _ {3})}

dele determinar a partir de M 3 – T M 3 {\ DisplayStyle m_ {3} – {} ^ {T} M_ {3}}

m_ {3} - {} ^ {t} m_ {3}

, onde m 3 {\ displaystyle m_ {3}}

m_ {3}

é o produto H 2 m 1 {\ DisplayStyle m_ {2} m_ {1}}

M_ {2} m_ {1}

das matrizes de rotação inicial, ou a partir do produto das quatérnions que definem cada uma das rotações, ou compondo as fórmulas de Rodrigues, relativamente a cada rotação.

Nós achamos que:

cos ⁡ (φ 3 2) = cos ⁡ (φ 1 2) cos ⁡ (φ 2 2) – Pecado ⁡ (φ 1 2) sin ⁡ (φ 2 2) (N → 1 ⋅ N → 2) {\ DisplayStyle \ COS ({\ Frac {\ varphi _ {3}} {2}}) = \ cos ({\ Frac {\ varphi _ {1}} {2}}) \ COS ({\ frac {\ varphi _ {2}} {2}}) – \ pecado ({\ frac {\ varphi _ {1}} {2}}) \ pecado ({\ frac {\ varphi _ {2 }} {2}}) ({\ vec {1}} _ {1} \ CDOT {\ VEC {2}} _}}}

\ cos ({\ frac { \ varphi _ {3}} 2}) = \ cos ({\ frac {\ varphi _ {1}} 2}) \ cos ({\ Frac {\ varphi _ {2}} 2}) - \ sin ({ \ Frac {\ varphi _ {1}} 2}) \ Sin ({\ Frac {\ varphi _ {2}} 2}) ({\ vec n} _ {1} \ CDOT {\ vec n} _ {2 })

sin ⁡ (φ 3 2) N @ 3 = cos ⁡ (φ 1 2) Sin ⁡ (φ 2 2) N → 2 + COS ⁡ (φ 2 2) Sin ⁡ (φ 1 2) N → 1 + Sin ⁡ (φ 1 2) Sin ⁡ (φ 2 2) N → 2 ∧ N → 1 {\ displayStyle \ Sin ({\ Frac {\ varphi _ {3}} {2}}) {\ vec {n}} _ {3} = \ cos ({\ Frac {\ varphi _ {1}} {2}}) \ Sin ({\ Frac {\ varphi _ {2}} {2}}) {\ vec {n}} _ {2} + \ cos ({\ Frac {\ varphi _ {2}} {2}}) \ Sin ({\ Frac {\ varphi _ {1}} {2}}) {\ vec. {1}} _ {1} + \ Sin ({\ Frac {\ varphi _ {1}} {2}} \ Sin ({\ Frac {\ varphi _ {2}} {2}}) {\ vec {n}} _ {2} \ cunha {\ Vec {n}} _ {1}}

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