Formulare generală:

Lăsați e {\ displayStyle \ Mathbb {E}}

\ matethbb {e}

un spațiu vectorial. O problemă de optimizare convexă este de a minimiza o funcție convexă F: E → R ∞: = r ∪ {- ∞, + ∞} {{{eHBBBStyle F: \ Bar {\ Mathbb {r}}} : = \ Mathbb {r} Cup \ {- \ \} \ \}}

F: \ mathbb {e} \ to \ bar {\ r}: = \ R \ Cup \ {\ Infty, + \ \ \ \}

pe e {}}

\ matethbb {e}

, ceea ce este scris într-unul din următoarele moduri:

inf (x) sau inf (x): x {f (x): x ∈ E} sau inf (E) sau {inf (x) x ∈ E. {\ Displaystyle \ inf @ {x \ în \ Mathbb {e \ în \, \, f (x) \ quad {\ mbotă {sau} \ quad \ inf \, \ {f (x): x \ în \ Mathbb {E} \} \ {\ Mbox {sau} \ \ quad \ Inf \, F (\ Mathbb {E}) \ quad {{\ Mbox {sau}} \ quad \ stânga \ {{\ Begin {Array} {l} \ inf \, f (x) \\ x \ în \ mathbb {e}. \ end {array}} \ dreapta.}

\ inf_ { x \ în \ mathbb {e}} \, f (x) \ quad \ mbotă {sau} \ quad \ inf \, \ {f (x): x \ în \ mathbb {e} \} \ quad \ mbotă { sau \ quad \ inf \, f (\ mathbb {e}) \ quad \ mbotă {sau} \ quad \ stânga \ {\ Begin {array} {l} \ inf \, f (x) \\ x \ in \ Mathbb {e}. \ end {array} \ dreapta.

Dacă notați

a ≡ dom ⁡ f: = {x ∈ E: F (x) < + ∞} {\ AfișareStyle {\ Mathcal {A}} \ EqUCH \ OPERATORNAME {DOM} F: = \ {x \ în \ Mathbb {E}: F (x) < + \ \}}

{\ Mathcal A} \ echiv \ operatornAme {dom} F: = \ {x \ în \ Mathbb {e}: F (x) + \ infty \}

domeniul (eficient) al f {\ displaystyle f}

F

, pro Blemish este identic cu cel al minimizării F {\ DisplayStyle F}

F

pe un {\ AfișareStyle {\ Mathcal {A}}

{\mathcal A}{\ Mathcal A}

:

inf. X ∈ A F (x). {\ Displaystyle \ inf} {x \ în {\ Mathcal {A}}} \, F (x).}

\ inf_ {x \ în {\ Mathcal A}}}} \, f (x).

dacă a = ∅ {\ displaystyle {\ Mathcal {A}} = \ varnothing}

\ Mathcal A} = \ varnothing

, adică dacă f ≡ + ∞ {\ displaystyle f \ echiv + \ infaty}

F \ echiv + \ \ \ \ inf 0, această expresie este încă valabilă de atunci, prin convenție, inf (∅) = + ∞ {\ DisplayStyle \ inf (\ varnothing = + \}}\ varnothing) = + \ infty

. Interesul de a avea o funcție f {div> F

care poate lua valoarea + ∞ {\ displaystyle + \ infty}

+ \ INFTY

este, prin urmare, de a introduce constrângeri în problema minimizării (soluția problemei este forțată să fie într-o {\ Afișări {\ Mathcal {A}}

{\ Mathcal A}

).

SolutionModifier

O soluție (globală) a problemei INF {F (X): X ∈ E {\ AfișareStyle \ Inf \ {F (x): X \ în \ Mathbb {E} \ }}

\ inf-\ {f (x): x \ în \ mathbb {e}}

este un punct x ∈ ∈ E {\ DisplayStyle {\ Bar {x}}} în \ Mathbb {E}}

\ bar {x} \ în \ Mathbb {e}

astfel încât

∀ x ∈ E: F (x ¯) ≤ f (x). {\ DisplayStyle \ forell \, x \ în \ Mathbb {E}: \ quad f ({\ bar {x}}) \ leq f (x).}

\ Forell \, x \ în \ Mathbb {e}: \ quadf (\ bar {x}) \ leq f (x).

În mod clar, dacă F {\ DisplayStyle F}

F

ia valoarea – ∞ {\ DisplayStyle – \ Infty}

- \ infty

, pe AF (x ¯) = – ∞ {\ DisplayStyle F ({\ Bar {x}}) = – \ Infty}

f (\ bar {x}) = - \ infat

; și dacă F {\ DisplayStyle F}

F

nu este identic egal cu + ∞ {\ DisplayStyle + \ infty}

+ \ infaty

, pe AF (x ¯) < + ∞ {\ DisplayStyle F ({\ bar {x}}) < + \ infty}

f (\ bar {x}) + \ infty

.

dacă e {\ displaystyle \ mathbb {e}} e}} e}} e}

\ mathbb {e}

este un spațiu vectorial topologic, x ¯ {\ DisplayStyle {\ Bar {x}}}

{\ bara {x}}

este o soluție locală a problemei INF {F (x) : X ∈ E} {\ DisplayStyle \ Inf \ {F (x): X \}}}}}

\ inf-\ {f (x): x \ în \ mathbb {e} \}

if

∃ v Cartier de x ¯, ∀ x ∈ V: F (x ¯) ≤ f (x). {\ DisplayStyle \ există \, v ~ {\ Mbox {cartierul} ~ {\ bar {x}}, quad \ quard \, x \ in V: \ quad f ({\ bar {x}}) \ leq f (x).}

\ există \, v \ \ mbotă {cartierul} \ bar {x}, \ quad \ foiral \, x \ in V: \ quadf (\ bar {x}) \ leq f (x).

în realitate O soluție locală este o soluție globală în sensul precedent.

Soluții ale unei probleme de optimizare convexă –

  1. Toate soluțiile unei probleme de optimizare convexă sunt convexe.
  2. if f {\ displaystyle f}
    F

    este strict convex, problema de optimizare convexă are cel mult o soluție.

  3. daca e {\ displaystyle \ Mathbb {E}}
    \ mathbb {e}

    este un spațiu vectorial topologic și dacă x {\ displaystyle {\ bar {x}}

    {\ bar {x}}

    este o soluție locală a unei probleme de optimizare convexă, apoi x {\ displaystyle {\ bar {x}}

    {\ bar {x}}

    este o soluție globală a problemei.

constrângere funcționalăModificator

în loc să dai valoare infinită criteriului din afara setului eligibil, Constrângerile pot fi specificate explicit. Problema este scrisă, de exemplu, după cum urmează

{inf f (x) x ∈ ca x = bc (x) ⩽ 0, {\ displaystyle \ stânga \ {\ Începe {array} {l} \ Inf \, F (x) \\ x \ în c \\ ax = b \\ (x) \ leqslant 0, \ capăt {array}} \ dreapta.}

\ stânga \ {\ începe {array} {l} \ inf \, f (x) \\ x \ în c \ ax = b \\ ( x) \ leqslant0, \ capătul {Array} \ dreapta.

în care unul minimizează o funcție F: X ∈ E ↦ F ( x) ∈ R {\ DisplayStyle F: X \ în \ Mathbb {e} \ Mapsto F (x) \ \ mapsto f (x) \ \ mapsto f (x) \ \ MATHBB {R}}

DIV> F: X \ în \ matethbb {e} \} \ mapsto f (x) \ in \ r

cu valori finite și necunoscut x ∈ e {\ displaystyle x \ în \ Mathbb {e}}

X \ în \ Mathbb {E}
  • aparțin unui set convex C {\ DisplayStyle C}
    c

    de e {\ displaystyle \ mathbb {e}

    \ mathbb {e}

    ,

  • Verificați o constrângere afină la X = B {\ DisplayStyle ax = b}
    Ax = b

    (A: E → F {\ DisplayStyle A: \ Mathbb {E} \ la \ Mathbb {F}}

    A: \ Mathbb {E} \ la \ mathbb {f}

    este o aplicație liniară între e {\ displaystyle \ matethbb {e}}

    \ matethbb {e}

    și un alt spațiu vectory f {\ displaystyle \ mathbb {f}}

    \ mathbb {f}

    și b {{\ displaystyle b \ în \ mathbb {f}}

    b \ în \ mathbb {f}

    ) și

  • Verificați un număr finit de convex Constrângeri funcționale date de o funcție C: E → RM {\ DisplayStyle C: \ Mathbb {E} \ \ Mathbb {R} ^ {m}}
    C: \ Mathbb {E } \ la \ r ^ m

    Inclusiv Componentele sunt convexe și l sunt convexe și l inegalitatea vectorială C (x) ⩽ 0 {\ DisplayStyle C (x) \ leqslant 0}

    c (x) \ leqslant0

    Trebuie să fie înțeleasă componenta de component (IT este echivalent cu m {\ displaystyle m}

    M

    Constrângeri de inegalitate CI (x) ⩽ 0 {\ DisplayStyle C_ {i} (x) \ leqslant 0}

    c_i (x) \ leqslant0

    pentru i ∈] {\ displaystyle i \}}

    I \ in \!]

    ).

  • Setul eligibil al acestei probleme este convex și este scris

    x: = {x ∈ E: X ∈ C, AX = B, C (x) ⩽ 0}. {\ DisplayStyle x: = \ {x \ în \ Mathbb {e}: X \ în C, ~ ax = b, ~ C (x) \ leqslant 0 \}.}

    X: = \ {x \ în \ Mathbb {E}: x \ în c, ~ ax = b, ~ c (x) \ leqslant0 \}.

    Problema este bine convexă, deoarece este de a minimiza pe e {\ displaystyle \ matethbb {e}}

    \ matethbb { E}

    Funcția F ~: X ∈ E ↦ F {(x) ∈ R {\ DisplayStyle {\ Tilde {F}}: X \ în \ Mathbb {E} \ Mapsto {\ tilde {f}} (x) \ în {\ bar {\ matethbb {r}}}

    \ tild {f}: x \ în \ Mathbb {e} \ hapsto \ Tilde {F} (x) \ în \ bar {\ r}

    definit de

    (x) = {f (x ) Dacă x ∈ x + ∞ Altfel, {\ DisplayStyle {\ tilde {f}} (x) = \ stânga \ {\ Begin {array} {ll} F (x) & {\ Mbox {IF}} ~ x \ în X \\ + \ \ \ mbotă {altfel}} {{\ mbox {altfel}}} {array}} \ dreapta.}

    \ tild {f} (x) = \ stânga \ {\ Begin {array} {ll} f (x) \ mbox {if} ~ x \ în x \\ + \ Infty \ Mbox {altfel} \ end {array} \ dreapta.

    care este o funcție convexă.

    Leave a comment

    Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *