Preambul: Renunțarea la alegerile prezidențiale franceze

La 6 mai, François Hollande a fost ales președinte al Republicii Franceze. Pentru cititorii noștri străini, să reamintim mai întâi modul în care lucrează alegerile prezidențiale în Franța. Un număr mic de candidați (10 în acest caz) a diferitelor margini politice a fost selectat anterior de către oficialii locali aleși, unul se desfășoară unul cu celălalt la o alegere cu două turnuri. Într-un astfel de vot, este organizată o primă rundă de vot în care fiecare elector trebuie să aleagă unul dintre candidați (sau abținerii). Dacă unul dintre candidați primește majoritatea absolută a voturilor exprimate (care este rară în practică), atunci acest candidat este declarat câștigător. În caz contrar, cineva avansează într-o a doua rundă de vot în care cei doi candidați care au primit cele mai multe voturi în prima rundă concurează în față în față; Candidatul care primește cel mai mult vot în a doua rundă este apoi declarat câștigătorul.

Să ne amintim și faptul că au fost rezultatele alegerilor din 2012. Pentru a simplifica prezentarea, vom păstra doar cei cinci candidați principali ( pe care le vom abstrade uneori după inițial), și anume François Bayrou (B), François Hollande (H), Marine Le Pen (L), Jean-Luc Mélenchon (M) și Nicolas Sarkozy (S). Rezultatele primei runde au fost după cum urmează:

  1. Holland (31%)
  2. sarkozy (28%)
  3. Le Pen (19%)
  4. bayrou (9%)

Niciunul dintre candidații care au depășit 50% din voturi, există astfel a avut oa doua rundă împotriva Olandei la Sarkozy, ale căror rezultate au fost:

  1. holland (52%)
  2. sarkozy (48%)

JPEG - 32,4 kBFrançois Hollande Hollande, candidatul ales de popor.

În cele din urmă, a fost Olanda care a fost ales președinte.

Să fim puțin mai curios și să întreb ce ar fi putut fi rezultatele celuilalt fețe imaginabile. În plus față de cea de-a doua rundă H – s care a avut loc, ar fi fost alte 9 posibilități: B – H, B – L, B – M, B – S, H – L, H – M, L – M, L – S și M – S. Evident, nu vom ști niciodată cu certitudine ceea ce ar fi dat acest al doilea turnuri fictive; Cu toate acestea, pentru a crede institutele de sondaj, rezultatele ar fi fost destul de mult după cum urmează:

  • bayrou bat holland 51 – 49;
  • bayrou bate stiloul 74 – 26;
  • bayrou bat mélenchon 75 – 25;
  • bayrou bat sarkozy 55 – 45;
  • Holland bate Le Pen 65 – 35;
  • Holland Bat Mélenchon 80 – 20;
  • Le Pen Bat Mélenchon 53 – 47;
  • Le stilo este bătut de Sarkozy 32 – 68;
  • Mélenchon este Bătut de Sarkozy 36 – 64.

s sintetizăm toate acestea sub forma „Diagrama de preferință binară” de mai jos, unde:

  • Fiecare candidat este reprezentat printr-o poziție separată;
  • între fiecare pereche de candidați, există o săgeată îndreptată spre cea a celor două care ar fi cu vedere la fața în față (neglijăm posibilitatea unui ex IE);
  • La fiecare săgeată, indicăm scorul (în procente) prin care câștigătorul feței în față în cauză câștigă.

Diagrama preferințelor binare pentru alegerile prezidențiale

ceea ce ar fi putut să-i fi dat pe cel de-al doilea turnuri imaginabile între cei cinci candidați principali din alegerile prezidențiale din 2012 ( Săgețile indică câștigătorii).

JPEG - 28,4 kb François Bayrou Bayrou, candidatul dorit de oameni?

O constatare greve: François Bayrou ar fi învins oricare dintre adversarii săi în a doua rundă! Așa cum, în situația istorică, nu a fost calificat, evident că nu a fost ales, dar mai mulți editorialiști au subliniat că a existat o formă de paradox … nu ar fi logic, într-adevăr, un candidat în general preferat la oricare altul Favoritul tuturor?

Filozofia criteriului Condorcet

Declarația criteriului

JPEG - 42.3 ko Nicolas de Portretul Condorcet al lui Condorcet Nicolas de Jean-Baptiste Greuze.

A fost, în orice caz, opinia lui Nicolas de Condorcet, savantul francez al secolului al XVIII-lea, care a fost unul dintre pionierii studiului matematic al democrației. A introdus următoarele definiții (pe care le adaptăm aici în limba modernă):

Definiții (Câștigătorul Condorcet; Criteriul Condorcet)

Dacă, printre candidații la alegeri, există unul care, cu care se confruntă orice Altele, este preferat de majoritatea alegătorilor, atunci acest candidat este numit câștigătorul Condorcet.

se spune că o metodă electorală satisface criteriul Concorcet atunci când, atunci când există un câștigător Condorcet, acesta este întotdeauna că această metodă declară câștigătorul (cu condiția ca alegătorii să fi votat în conformitate cu preferințele lor autentice ).

În primul rând, este nevoie de un audit: vorbim despre câștigătorul Condorcet ca și cum ar fi fost unic, dar este cazul? Răspunsul este „da”:

Teorema (unicitatea câștigătorului Condorcet)

Nu poate exista mai mult decât un câștigător Condorcet cu alegeri.

Demonstrație

Imaginați-vă o situație în care ar exista doi câștigători Condorcet (cel puțin), numită X și Y. Din moment ce X este un câștigător Condorcet, el îi depășește pe importurile de la concurenții săi în față -Face-față, așa mai în special Y. Dar din același lucru, deoarece există un câștigător Condorcet, el trebuie să învingă x față-în-față … sau față în față între x și y poate avea în mod evident numai Un câștigător: deci este de fapt imposibilă că există mai mult de un câștigător Condorcet.

Teza de condorcet a fost că, pentru ca o metodă electorală să fie foarte corectă, trebuie să satisfacă criteriul eponim. Să cităm Marele Mare:

poate rezulta din calea votării în alegerile obișnuite o decizie contrară multitudinii. Astfel, ar trebui să înlocuiți în această formă cea în care fiecare votare, exprimând ordinea conform căreia îi plasează candidații, ar pronunța atât preferința respectivă pe care le le dă. Când doriți să alegeți cel mai demn candidat, acesta va fi suficient că sistemul nu implică contradicție pentru candidatul care merită preferința tuturor.

P> Condorcet ar trebui să se opună metodei noastre neincominale cu două rotații, deoarece exemplul Bayrou arată că nu satisface criteriul său! Dar înainte de a merge mai departe, ar trebui explicată care sunt justificările teoretice asupra tezei Condorcet.

Justificare matematică a criteriului Condorcet

Dacă citiți articolul meu anterior, probabil vă amintiți că o mare problemă a teoriei matematice a alegerilor este următoarea: alegătorii au uneori interesul de „votul strategic”, exprimând o opinie falsă care ar aduce rezultatul votului să fie mai bine pentru ei decât cel. Ce ar fi dat sincer Sufragie! În cazul votului unincominal cu două turnuri despre care vorbim în preambul, un exemplu tipic este ceea ce se numește „vot util”. Imaginați-vă și cu o zi înainte de primele sondaje rotunde dau Sarkozy departe de plumb, urmate de către Pen și Olanda până la cot la cot, și mult mai departe Mélenchon. Luați în considerare un elector fictiv care este un fan mare de Mélenchon, este amestecat pe Olanda, nu-i place Sarkozy și urăște stiloul. Acest elector spune: „Dacă votez Mélenchon, nu va fi suficient să o calificăm oricum pentru a doua rundă; Pe de altă parte, am riscul de a vedea oa doua rundă între cei doi candidați care îmi place cel puțin. Pe de altă parte, prin vot Holland, diminuează șansele unui al doilea rotund Sarkozy – Le Pen și promovez eliminarea candidatului meu urât! Așadar, am un interes în vot Holland „.

Dar când luăm în considerare acest fenomen strategic de vot, câștigătorul Condorcet (dacă există unul) poate aranja să fie ales sigur! (În orice caz în metoda neincominală cu două runde).
Într-adevăr, imaginați-vă că există un câștigător Condorcet numit X și să presupunem că sondajele prezice victoria unui alt candidat la Y. Această majoritate poate apoi să se consulte și să spună „Să transformăm voturile pentru x din prima rundă; Așa că va avea o majoritate de voturi pe numele său și va fi aleasă, ceea ce mai interesant pentru noi! „Desigur, acest lucru nu înseamnă că toți alegătorii acestei majorități au X pentru candidatul preferat. Se poate imagina chiar că un număr substanțial dintre aceștia preferă un al treilea candidat Z și poate fi tentat să câștige Z cu ajutorul Vechiul alegători care preferă și z la x … dar nu este pierdut, deoarece x fiind un câștigător Condorcet, există și o majoritate (dar nu a fost alcătuită din aceiași alegători, desigur) care preferă X la Z; dacă Z devine Prea periculoasă în sondaje, este majoritatea care va fi apoi Ligore să voteze x pentru a evita alegerea lui Z!

astfel încât o metodă satisfăcătoare Criteriul Condorcet are acest avantaj pe care alegătorii nu trebuie să o săpa Creierul să știe dacă votul lor este bine calculat: Cu o astfel de metodă într-adevăr, dacă există un câștigător Condorcet, el va fi în mod necesar ales!

O altă calitate a metodelor care satisfac criteriul Condorcet este după cum urmează: în timp ce metodele convenționale (inclusiv metodele A, B, C, D și E din articolul precedent) sunt supuse unui fenomen de „voci de împrăștiere” atunci când numărul candidaților devine mare, fenomen care poate duce la un rezultat irelevant, rezultatul unei metode care satisfac criteriul Condorcet nu se schimbă atunci când ne retragem sau adăugăm „mici” candidați:

teorema (indiferența față de candidații mici)

  1. Dacă începem dintr-o situație în care un candidat sunt cuceriți Condorcet și unul sau mai mulți dintre ceilalți candidați se retrag din Alegerea, apoi câștigătorul Condorcetului inițial rămâne câștigătorul Condorcet după această retragere.
  2. viceversa, dacă împărtășim o situație în care un candidat este cuceritor de Condorcet și unul sau mai mulți candidați noi sunt introduși fiecăruia din care Câștigătorul inițial este preferat față în față, apoi câștigătorul inițial Condorcet rămâne câștigătorul Condorcet după această adăugire.

demonstrație

Retragerea sau adăugarea unui candidat nu modifică preferințele binare ale alegătorilor dintre ceilalți candidați. Pentru punctul I, deoarece câștigătorul inițial de condorcet ia bătut inițial toți adversarii în față în față, astfel că rămâne cazul dacă unul sau mai mulți dintre adversarii lui se retrag. Pentru punctul ii, câștigătorul inițial Condorcet continuă să-și bată toți adversarii inițial și am presupus că și-a bătut și noii adversari, astfel încât el este întotdeauna câștigător al Condorcet în noua situație.

DIV>

Notă, pe de altă parte, că, dacă câștigătorul potențialului Condorcet este într-un sens un câștigător inevitabil, nu este neapărat cel care este într-adevăr favoritul poporului (în sensul pe care l-am menționat În articolul precedent, adresați-vă prin măsurarea fericirii totale pe care acest candidat le va aduce publicului dacă este ales). Astfel, dacă există doar doi candidați X și Y, și că 51% dintre alegători preferă ușor x la y și 49% dintre alegători preferă foarte mult Y la X, este X care vor fi aleși atunci când vrem să spunem că este mai degrabă unde reprezintă voința poporului. Acestea fiind spuse, acest fenomen al „dictaturii majoritare”
nu este direct legat de criteriul Condorcet: este de fapt un vicepreminant al democrației, după cum a inclus deja Kant.

Pentru moment, am vorbit multe despre filozofie și puține matematică (și chiar mai puțin cercetări!). Dar această introducere a fost necesară pentru a înțelege de ce criteriul Condorcet este un obiect matematic natural și important. În a doua parte a acestui articol, vom vorbi acum despre o cercetare mult mai recentă care se învârte în jurul acestui criteriu.

Paradoxul Condorcet într-adevăr există

Condorcet Paradox

Criteriul Condorcet ne aduce în mod natural să vorbim despre Paradoxul Condorcet, pe care l-am întâlnit deja în articolul precedent. Acest paradox, în fond, că nu există neapărat un câștigător Condorcet:

paradox condorcet (1785)

de îndată ce există cel puțin 3 candidați , există situații în care nu există un câștigător Condorcet.

demonstrație

presupuneți că există cel puțin 3 candidați și alegeți trei candidați particulari printre ei, numiți X, Y și Z. Ne imaginăm că toți alegătorii preferă X, Y și Z pentru toți ceilalți candidați, astfel încât niciunul dintre acești ceilalți candidați să nu poată fi cuceritor de Condorcet. Acum ne putem imagina în continuare că 40% dintre alegători au ordinea de preferință „x apoi y apoi z”, 35% „y apoi z apoi x” și 25% „z și apoi x apoi y”. Apoi, 65% dintre alegători preferă X la Y (deci nu există un câștigător Condorcet), 75% preferă Y la Z (SO Z nu este un câștigător Condorcet), iar 60% preferă Z la X (SO x nu este un Condorcet Câștigător): niciun candidat nu este, prin urmare, cuceritor de condorcet.

Cu toate acestea, am văzut în preambulul un caz real Alegerea cu cel puțin 5 candidați în care există într-adevăr un câștigător de Condorcet! Acest lucru sugerează că ar putea exista un fenomen care ar interzice paradoxul Condorcetului în practică, deoarece situațiile politice realiste ar verifica anumite ipoteze specifice în care Paradoxul este imposibil. În următoarele paragrafe, vom prezenta diferite modele de preferințe politice și vom vedea dacă acestea permit sau nu apariția paradoxului Condorcet.

Condorcet Paradox pe o tablă de șah politică

Vom introduce aici o modelare destul de realistă a preferințelor politice ale alegătorilor pe care vom numi modelare de către Chessboard Politic, a cărei idee este pur și simplu în general, Vodem pentru candidatul a cărui poziții se încadrează în măsura în care opiniile noastre. Se va presupune că există o „tablă politică” abstractă (ceea ce face posibilă vorbirea despre „distanța politică”) pe care pot fi plasați candidații, precum și alegătorilor, cum ar fi preferințele fiecărui alegător sunt candidatul care este cea mai apropiată de cea mai îndepărtată.

S-ar putea spera că, cu o astfel de modelare, nu există niciodată un paradox de Condorcet … dar acest lucru nu este cazul! Să presupunem că tabloul de șah politică corespunde unei plăci de șah reale (ale cărui cutii, spun, o parte de 5 cm), în cazul în care un candidat X pe caseta B7, un candidat Y pe caseta F7, un candidat Z en E4 și un candidat C2 . Ne imaginăm că electoratul este împărțit în patru grupe de diferite dimensiuni, fiecare dintre acestea fiind exact aceeași poziție ca unul dintre candidații: 34% dintre alegători sunt la nivelul X, 26% la nivelul Y , 18% din Z și 22% W. Distanțele dintre candidați sunt apoi cele indicate pe desenul de mai jos, astfel încât următoarele preferințe pentru alegători („x > y” înseamnă „x este preferat pentru y „):

ici, în stânga, un politic CONFIGURAREA CHESSBOOD astfel încât, dacă există 34% dintre alegători în X, 26% în Y, 18% în Z și 22% în W, și că fiecare elector preferă candidații din care este cel mai apropiat, atunci niciun candidat nu este condorcetul Câștigător: în partea dreaptă, diagrama de preferință binară corespunzătoare.

> y > z > w pentru 34% din alegeri Rs; W pentru 26% din alegători;

  • w > z > x > Y pentru 22% din alegători;
  • z > w > y > x pentru 18% din alegători.
  • Astfel, în această configurație, X nu este un câștigător Condorcet (pentru că el este bătut de Z la 66%), nici Y (bătut de x la 56%), nici Z (bătut de Y la 60%), nici W (bătut de Z la 78%): Așa că avem paradoxul Condorcet!

    Teoremele alegătorului median

    În exemplul tabloului de șah, am făcut o etapă politică de dimensiune 2, adică cu 2 coordonate (una pentru coloane și una pentru linii). Nu a fost o coincidență! Deoarece dacă șahul politic are doar o singură dimensiune, se poate demonstra că există încă un câștigător Condorcet:

    teorema (mai întâi teorema alegătorului mediu; Negru 1958)

    Când șahul politic este O axă gradată (pe care în general interpretăm ca o poziționare politică a „mai multor stânga” față de „mai mult drept”), există întotdeauna un câștigător Condorcet.

    pentru a demonstra această teoremă, noi va introduce mai întâi o definiție care ne va fi utilă în probă:

    definiție (profil de preferință în λ)

    se spune că un elector la un profil de preferințe în λ (citiți „Lambda” ) Când, atunci când cineva călătorește lista candidaților din stânga la dreapta spre dreapta, preferința acestui elector crește până la atingerea candidatului său preferat, apoi coboară. (Posibil, candidatul preferat poate fi din stânga sau dreptul la dreapta; lucrul important nu se va întoarce niciodată după ce a coborât).

    De exemplu, dacă presupunem că candidații prezidențială Alegerile se situează de la stânga la dreapta în conformitate cu comanda „M, H, B, S, L”, apoi preferințele „b > h >

    s >> m „sau” l > s > b > h > m „sunt profiluri în λ, dar nu” h > m > s > b > l, de la astfel o preferință picături între H și b înainte de a merge între B și S.

    Demonstrația primei teoreme ale electorului median

    primul punct este de a observa că, atunci când șahul politic este o axă gradată, toți alegătorii au un PR De preferabil în λ. Într-adevăr, ia în considerare orice alegător.Când trecem prin tabloul politic de la stânga la dreapta, începem să ne apropiem de acest elector înainte de a vă deplasa, astfel încât preferințele alegătorului să crească (atâta timp cât suntem lăsați în stânga decât acest elector) înainte de a coborî (odată ce suntem mai mult): Aceasta corespunde unui profil de preferință în λ. (Dacă niciun candidat nu este localizat exact aceeași poziție cu electorul, va fi necesar să se uite la distanțele precise care să știe dacă candidatul favorit al acestui alegător este cel aflat imediat în stânga sau imediat la dreapta lui, dar în Două cazuri Avem un profil în λ).

    Acum dovedim teorema. Pentru a evita problemele de bifare, să presupunem că există un număr impar de alegători. Fiecare dintre acești alegători are un candidat preferat. Imaginați-vă că am cerut ca fiecare alegător să scrie numele candidatului său preferat pe un buletin informativ și clasificăm buletinele de știri obținute de la cel mai stâng candidat la cel mai drept candidat și să numim x candidatul care se află pe buletinul candidat situat în mijlocul acest clasament. Am afirmat că x este un câștigător Condorcet. Într-adevăr, luați în considerare un candidat situat, de exemplu, mai mult decât X (pentru un candidat din stânga, ar fi suficient să inverseze „dreapta” și „stânga” în restul). AS X se află în mijlocul clasificării noastre de buletine de știri, există o majoritate absolută a buletinelor de știri care sunt în numele fie a unui candidat mai mult decât X, ceea ce înseamnă că există o majoritate absolută a alegătorilor a căror candidat preferat este fie X , sau un candidat situat mai mult pe stânga decât X. Apoi ia în considerare un astfel de alegător, despre care numim z candidatul preferat (Z care poate fi același ca X). Știm prin paragraful de mai sus că alegătorul nostru are un profil de preferințe în λ, așa că atunci când se îndepărtează de Z la dreapta, preferințele electorale fac doar scăderea. Dar aici X este cel puțin ca Z și Y este și mai mult decât X, așa că vom trece acolo mai târziu la x în timpul acestei îndepărtări; Prin urmare, electorul nostru preferă X la Y. Așa cum este același lucru pentru o majoritate absolută a alegătorilor, înseamnă că X este preferat în mod predominant față de Y, și, după cum putem face același raționament posibil acolo, se dovedește că X este un Condorcet Câștigător. Rețineți că această demonstrație arată că teorema rămâne valabilă de îndată ce toți alegătorii au un profil de preferințe în λ.

    lipsa lipsei Din această primă teoremă a electoratului median (și modelarea de către șahul politic în general) este că el consideră că singura calitate a candidaților care ar interesa alegătorii este poziționarea lor politică. Cu toate acestea, cu o poziție politică egală, unii candidați pot fi „mai buni” sau „mai răi”, de exemplu datorită calităților lor intelectuale sau carismatice. Un model mai fin este, prin urmare, următoarele: Pe de o parte, există o axă gradată pe care sunt plasate candidații și alegătorii, iar pe de altă parte este asociată și cu fiecare candidat o „valoare intrinsecă”. Fiecare elector calculează apoi pentru diferiții candidați un „scor” egal cu valoarea intrinsecă a candidatului minus distanța candidatului și a clasificat candidații prin scorul descendent: Un exemplu este dat în desenul de mai jos.

    axa politică cu valori intrinseci

    aici este un exemplu care ia în considerare atât plasarea Candidații pe axa politică „stânga – dreapta” și valoarea intrinsecă a candidaților. În acest exemplu, există cinci candidați reperați de puncte, valoarea intrinsecă a fiecăruia fiind indicată în paranteze. Dacă luăm în considerare un elector situat în poziția „E”, acest elector dă apoi un scor egal cu 9 (valoare) – 5 (distanța) = 4, la un scor de 8 – 1 = 7, la un scor de 5 – 1 = 4, și la același lucru și cu scorurile respective de 5 și 3. Prin urmare, ordinea preferințelor acestui elector este „H > M > s > b > l „- care nu este un profil în λ.

    Ei bine, în acest model, suntem încă siguri de existența unui câștigător Condorcet:

    Teorema (a doua teoremă a votului median; Roberts 1977)

    Dacă candidații și alegătorii sunt plasați pe aceeași axă gradată pe de o parte, fiecărui candidat este asociat cu o valoare intrinsecă pe cealaltă și că preferințele fiecărui elector sunt determinate de diferența „Valoarea intrinsecă – Distanța de la candidat „, atunci există întotdeauna un câștigător Condorcet.

    Pentru a demonstra această teoremă, de asemenea, începem aici prin introducerea unei definiții:

    Definiție (preferințele depuse)

    Având în vedere candidații clasați de la stânga la dreapta și Alegătorii se clasifică, de asemenea, de la stânga la dreapta, se spune că configurația preferințelor este împiedicată dacă este imposibil să găsești un candidat X pe stânga că un alt candidat Y și un elector are mai multe în stânga decât un alt elector B care preferă x Dar B preferă X la Y (cu alte cuvinte, care sunt astfel încât alegătorul din stânga preferi candidatul drept și electorul potrivit candidatului pe stânga).

    div>

    Demonstrarea celei de-a doua teoreme ale electoratului median

    Primul punct este de a observa că, sub ipotezele teoremei, configurația preferințelor este lipsită. Luați în considerare doi candidați X și Y, cu dvs. mai mult decât X. spun că este descrisă configurația preferințelor înseamnă că, în calitate de elector fictiv, se mișcă de la stânga la dreapta pe axa politică, el nu poate fi o preferință „y > x „la o preferință” x > y „; Pentru a arăta că, este suficient să stabilim că diferența „Scorul scorului X” poate crește doar atunci când mergem de la stânga la dreapta. Acum, în această diferență în scor, singurul lucru care se schimbă de la un elector la altul este partea scorului care depinde de distanța: cea care depinde de scor este aceeași! Deci, este suficient să arate că diferența „Distanța de la y – distanța de x” este doar scădere atunci când cineva merge de la stânga la dreapta. Deci, ce se întâmplă când mergem de la stânga la dreapta? La început, atâta timp cât suntem încă lăsați de x, fiecare pas spre dreapta mai aproape ca X ca de y, și, prin urmare, diferența „distanța față de y – distanța până la x” nu variază. Apoi, atunci când sunteți între x și y, fiecare pas spre dreapta nu numai că scade distanța față de y, dar, de asemenea, mărește unul la x, astfel încât diferența „distanța față de y – distanța până la x” scade. În cele din urmă, dincolo de Y, fiecare pas spre dreapta ne mută cât mai multe x ca de y și, prin urmare, din nou diferența de distanțe rămâne constantă. Astfel avem o configurație de preferințe decalate.

    Acum dovedim teorema. Pentru a evita problemele de ex-æquo, să presupunem că există un număr impar de alegători. Dacă clasificăm acești alegători de la stânga la dreapta pe axa politică, atunci există una care se găsește în mijlocul acestui clasament, pe care o vom numi „Electorul median”. Spun că preferințele majoritare sunt exact aceleași cu cele ale acestui elector median și, în special, candidatul favorit al electorului median este un câștigător Condorcet.
    într-adevăr, să presupunem că între doi candidați X și Y, alegătorul median preferă X; Pentru a repara ideile, hai să spunem că este mai mult decât x (altfel, inversă „dreapta” și „stânga”). Deci, conform rezultatului intermediar de mai sus, cu atât mai mult pe alegătorii stângi că alegătorul median preferă și X la Y, deci există o majoritate a alegătorilor care preferă X la Y, ceea ce am vrut să demonstrăm. Rețineți că această demonstrație arată că teorema rămâne valabilă de îndată ce este lipsită de configurația preferințelor.

    În plus față de demonstrarea existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței existenței Existența existenței existenței Conqueror de Condorcet, dovezile de mai sus ne spune ce este acest câștigător: este candidatul favorit al electorului situat „în mijlocul” tuturor axei preferințelor (prin urmare numele lui „Teorema” alegătorului median „). Un fenomen similar a avut loc pentru prima teoremă a electoratului median, unde rezultatul alegerilor corespunde celor mai centrale alegere între candidații preferați ai diferitelor constituenți. O moralitate pe care o putem în desen este faptul că criteriul Condorcet promovează candidații „centristici” comparativ cu candidații mai orientați sau extrem ISTS. Este de dorit comportament? Opiniile diferă în ceea ce privește această întrebare:
    pentru unii, pentru a promova centriștile, riscurile dezgustătoare alegătorilor non-centrist care ar avea impresia că nu au fost niciodată luate în considerare și de a promova politica consensului de MOU în detrimentul mai ambițios proiecte; Alții, dimpotrivă, consideră că o politică centristă ar păzi dezbaterea, permițându-i pe toți să navigheze puțin și că o mare stabilitate politică ar fi mai favorabilă înființării de proiecte pe termen lung..

    H3> și Când nu există nici un câștigător Condorcet?

    Teoremele electoratului median tind să indice că în situații concrete, vom avea de cele mai multe ori un câștigător Condorcet, ceea ce istoria alegerilor este de fapt coroborarea.
    care au spus, modelul pur unidimensional pe care restul acestor teoreme este în mod clar prea mic, iar exemplul tabloului de șah ne arată că este doar un caz mai complex pentru a vedea reapariția paradoxului Condorcet. .. Pe scurt, Dacă dorim să aplicăm o metodă electorală care să satisfacă criteriul Condorcet, va fi necesar să se ia o regulă pentru a desemna candidatul ales atunci când nu există câștigător Condorcet. Dar care ? Această întrebare a început să fie studiată doar câteva decenii, mai ales că înainte de inventarea de informatică a fost practic imposibilă să se facă numărarea unui vot în care alegătorii indică preferințele lor între toți candidații. Aceasta este cercetarea pe acest subiect pe care o vom vorbi acum.

    Metoda minimată

    Să începem cu o abordare foarte simplă. Se poate spune: „La bază, un câștigător Condorcet este un candidat care efectuează mai mult de 50% împotriva tuturor celorlalți. Dacă niciunul dintre candidații nu reușește, putem reduce pragul de 50% să spun:” Dacă există doar unul a candidaților care reușesc să ajungă, de exemplu, 45% împotriva oricărui altul, atunci este acest candidat care trebuie să fie ales „. Cu alte cuvinte, protocolul este următorul: Pentru fiecare dintre candidați, ne uităm la cel mai rău din scorurile pe care le-ar face-o în diferitele sale față-to-fețe, atunci declarăm că candidații a căror cel mai rău scor este cel mai bun. Această metodă se numește o metodă minimax, deoarece arată cine este cel mai bun („Max”) în Situația în care este cel mai puțin bun („mini”) %, cea mai gravă înfrângere a lui Y față de X cu 56%, cea mai gravă înfrângere a lui împotriva lui cu 60% și cea mai gravă înfrângere a lui împotriva Z de către 78%. Cea mai ușoară dintre aceste înfrângeri cele mai grave este aceea a Y, care este, prin urmare, câștigătorul minimului.

    pare natural! Din păcate, această metodă deschide calea către o formă de „manipulare” (în mod sinonim de „vot strategic”) deosebit de periculos. Să presupunem că, în exemplul tabloului de șah abordat, avem mai mult de un grup V compus din „” Anarhiști „. Acești anarhiști sunt relativ numeroase, deoarece constituie 40% din populația totală, astfel încât avem următoarea distribuție globală: x 20%, Y 16%, Z 11%, W 13%, V 40%. Cu toate acestea, anarhiștii sunt unanimi împotriva lor în afara grupului lor: precum și suporterii lui X și Y ca dintre Z, care a clasificat V Ultima poziție în ordinea lor de preferințe! Acesta este locul în care anarhiștii au o idee minunată de a lua putere în ciuda acestui handicap important. Ei spun „, mai degrabă decât să voteze într-un mod echilibrat între concurenții noștri, vom aranja să amplificăm cele mai grave înfrângeri cât mai mult posibil!”.

    Pentru a face acest lucru, alegătorii grupului V sunt împărțite în Trei subgrupuri (pe de altă parte, au încă un singur candidat):

    • subgrupul $ v_1 $ Contul 18% din toți alegătorii și vot „v > z > y > x > w „;
    • Subgrupul $ v_2 $ are 12% din alegători și vot „v > y > x > Z > w „;
    • contul subgrupului $ v_3 $ 10% alegători și vot” v > X > z > y > w „.

    Cu această strategie, avem următoarele voturi:

    • x y > z > w > V pentru 20% din alegători;
    • v > x > y > Z > w pentru 18% din alegători;
    • y > z >

    x > w > v pentru 16% din alegători;

  • w > z > x > y > v pentru 13% din alegători;
  • v > z > x >
  • Y > w pentru 12% din alegători;

  • z > w > y > x > v pentru 11% din alegători;
  • v > y > z > x > w pentru 10% din alegători.
  • Aceasta duce la următoarea diagramă de preferință binară (dreapta):

    manipularea anarhiștilor

    Iată diagramele corespunzătoare exemplului tabloului de șah cu anarhiștii, în partea stângă în cazul în care anarhiștii votează sincer (presupunem că preferințele anarhiștilor dintre x, y și z sunt aleatoriu iar W este încă candidatul lor urât), și drept cu manipularea pe care am explicat-o (schimbările sunt indicate în roșu). În primul caz, câștigătorul minimului este acolo; În al doilea rând, este V, căruia toți sunt toți ceilalți candidați!

    Deci, cele mai grave înfrângeri ale lui X, Y și Z sunt, respectiv, 62%, 63% și 64% (respectiv împotriva lui Z, X și Y), cea mai gravă înfrângere a W este de 87% (împotriva Z) și cea mai gravă înfrângere a V este de 60% (împotriva oricărui adversar): este, prin urmare, care devine câștigătorul minimului ! „Evident, susținătorii lui X, Y, Z și W au posibilitatea de a aliaja să desemneze y ca un candidat comun și să nu reușească planul lui V, dar am spus câteva paragrafe mai mari decât filosofia criteriului Condorcet Salvați cât mai mult posibil alegătorii chinurile votului strategic! Prin urmare, se pare, în conformitate cu acest punct de vedere, că metoda minimaxului nu este relevantă atunci când nu există un câștigător Condorcet.

    Metoda Schulze

    Acum vom prezenta o metodă Conceput în 1997 de către un student german de fizică numit Markus Schulze, care nu are dizabilitatea cu metoda Minix. Filozofia din spatele metodei Schulze este după cum urmează: „În partea de jos, o alegere, nu este niciodată un truc pentru a evita inconvenientele revoluțiilor: consultăm constituenții să știm cine ar câștiga în cele din urmă revoluția fără a fi nevoie să bată!”.

    Ce va fi numit aici o „revoluție”, este atunci când un număr mare de alegători sunt de acord să reducă președintele și să o înlocuiască cu alta, în a cărei identitate au fost de acord înainte. În acest sens, este ușor de înțeles criteriul Condorcet: dacă un candidat (apel-it) este câștigător Condorcet, orice alt candidat care se va întâmpla cu putere ar fi inversat rapid de majoritatea care preferă X la acest candidat, în timp ce o dată x va fi la putere că nu va fi niciodată o majoritate pentru ao răsturna, ceea ce va face locul mult mai stabil.
    În cele din urmă, de când am avut rapid tranziții de la N ‘Imports că la X și rareori x tranziții la oricine, este X care va fi în putere de cele mai multe ori. (Rețineți că aici nu susținem că este imposibil să răsturnați un președinte fără a avea o majoritate ligută împotriva lui: spunem doar că acest lucru este mult mai ușor de făcut de îndată ce avem mai mulți oameni pentru a conduce revoluția) .

    Să ne uităm la ceea ce s-ar întâmpla într-un astfel de cadru pentru exemplul tabloului de șah cu anarhiști. Revoluțiile tind să răstoarne președinții în direcția indicată de săgeți și mult mai rar în direcția opusă. Prin urmare, la sfârșitul unor revoluții, președintele este neapărat x, y sau z, de când am ajuns la unul dintre aceste trei nu există nici o cale de-a lungul săgeților care aduce în w sau v! Așadar, vedem deja (așa cum ne părea în mod natural) că nu este ca revoluțiile să aducă la putere de cele mai multe ori.

    Să continuăm. Știm că va fi în esență x, y și z care va împărtăși puterea, dar în ce proporții? Dacă ne uităm la săgețile cu privire la acești trei candidați, avem diagrama stângă de mai jos:

    div>

    metoda Schulze împotriva manipulării anarhiștilor

    Aceste diagrame explică ce se întâmplă atunci când metoda Schulze este aplicată situației în care anarhiștii încearcă să se ocupe de manipularea lor. Grupul cap al diagramei preferințelor binare în această situație este apoi alcătuit din cei trei candidați {X, Y, Z}: În special V este eliminat de când a fost bătut de toți ceilalți candidați! Într-un al doilea pas, ne uităm la diagrama preferințelor binare dintre acești trei candidați. Pentru a aduce un grup de cap mai mic, ștergem cea mai slabă săgeată. Noua diagramă are apoi un grup de cap format din singurul candidat X: așa că este cel care este declarat câștigător prin metoda.

    div>

    Acum, ideea este că, în mod similar, a fost mult mai greu de făcut o revoluție cu mai puțin de 50% din populație decât mai mult de 50%, este mult mai dificil să se facă o revoluție cu 62% decât cu 63% sau 64%. ..Deci, ștergem săgeata marcată „62%” pentru a însemna că această revoluție este rară și ajungem la diagrama potrivită de mai sus. La sfârșitul unor revoluții, este neapărat X, care este președinte: ideea metodei Schulze este de a spune că el este cel care trebuie proclamat câștigător al alegerilor!

    Acum, că am explicat principiul metodei Schulze, vom ajunge să oferim o definiție riguroasă și să ne asigurăm că oferă un câștigător unic în toate cazurile. Pur și simplu presupunem că nu există niciodată doi candidați legați exact sau două săgeți având exact aceeași forță în diagrama preferințelor binare, ceea ce este întotdeauna cazul în practică atunci când există mulți alegători.

    Rețineți că în acest sens alin. Se spune că un candidat (numit aici x) aparține grupului de lider când, pornind de la orice alt candidat, este posibil să urmați o cale în conformitate cu săgețile care pornește de la acest candidat și se termină în X.

    Aici este important să rețineți că, dacă diagrama este completă, grupul de cap nu este niciodată gol:

    teorem

    într-o diagramă de preferință binară completă, grupul de direcție nu este niciodată gol.

    Demonstrație

    Vom prezenta o modalitate de a construi grupul de cap care arată că acesta nu este niciodată gol. Voi suna aici „Headgree” orice grup de candidați, cum ar fi, când începem de la orice candidat care nu este în acest grup, putem ajunge la orice candidat al grupului care urmează săgețile.

    Apocuăm prima dată că grupul Dintre toți candidații este o iarbă de unitate, deoarece nu există niciun candidat care nu aparține acestui grup!

    Acum, spun următoarele: Când aveți o înălțime înalte,

    • sau acest grup de up este grupa reală de cap;
    • sau, printre acest grup de up, putem selecta un anumit număr non-zero de candidați care formează o grupare strict mai mică.

    într-adevăr, să presupunem că grupul nostru superior nu este grupul adevărat de căști. Singura modalitate prin care se întâmplă acest lucru este că există cel puțin un candidat X în acest grup de mari dimensiuni la care nu este posibil să reușești de la un alt candidat Y, care este în mod necesar în grupul ongroup, deoarece știm că putem duce la orice candidat al grupului de upgroup de la orice candidat în afara grupului superior. Acum, selectez candidații grupului de upgroup care sunt astfel încât, atunci când începem de la unul dintre acești candidați, nu putem ajunge în X. Acest nou grup nu este gol, deoarece conține acolo și este strict mai mic decât grupul inițial de conducere Deoarece nu conține X. Spun că acest nou grup este încă un grand de cap. Într-adevăr, ia în considerare un candidat Z care nu este în acest nou grup. Fie că acest candidat nu a fost în grupul nostru inițial, și apoi știu că putem merge de la Z în orice punct al grupului nostru superior inițial și, prin urmare, mai ales în orice punct al noului nostru grup. Fie acest candidat a fost în grupul nostru inițial, dar nu în noul grup. Deci, candidatul Z, putem reveni la candidatul X urmând săgețile (prin definirea noului grup). Dar candidatul X, putem merge la orice candidat W a noului grup: Într-adevăr, există o săgeată între x și w deoarece diagrama noastră este completă și, neapărat, indică X la W, deoarece nu există nici o cale de la W la x Fotografiile! În cele din urmă, am arătat că pentru orice candidat Z care nu este în noul nostru grup, putem merge de la acest candidat la orice candidat al noului grup după săgețile, ceea ce înseamnă că noul grup este un grup de upgroup.

    Să mergem pe vârful capului format de toți candidații, și atâta timp cât nu am găsit încă adevăratul grup de conducere, aplicați metoda de mai sus pentru a forma overgrupuri de conductori din ce în ce mai mici, dar toate non-goale. În mod necesar, la un moment dat, va trebui să ne oprim și, la acel moment, grupul nostru de up va fi adevăratul grup de cap în conformitate cu alternativa de mai sus, iar acest grup de cap va fi bine ne-gol, ceea ce dovedește teorema.

    definiție (metoda SCHULZE)

    dintr-o diagramă completă de preferință binară (în cazul în care toate săgețile transportă scoruri diferite), definim câștigătorul lui Schulze prin următoarea metodă:

    1. Începem din diagrama preferințelor binare pentru toți candidații.
    2. Dacă există, de fapt, un singur candidat, One -CI este proclamată câștigător și oprire.
    3. altfel, ne uităm la grupul de cap: Dacă este strict mai mic decât setul inițial, ștergem toți candidații care nu sunt în acest grup de căști (precum și săgețile cu privire la acestea), iar metoda este pornită din nou de ca și cum Nu au existat mai mulți candidați rămași.
    4. Dacă, pe de altă parte, grupul conține toți candidații, săgețile scorurilor mai mici sunt șterse treptat până când liderul diagramei obținut prin ștergerea săgeților exclude cel puțin unul candidații (care se întâmplă în mod necesar, pentru că o singură dată Săgețile ar fi șterse, nu ar fi nimeni în grupul de cap). În acel moment, ștergem toți candidații care nu sunt în acest nou grup de cap (precum și săgețile cu privire la acestea), iar metoda este pornită din nou de ca și cum ar fi mai mult decât cei rămași candidați.
    5. ol ol ol ol ol ol. >

      Pentru a se asigura că metoda duce la desemnarea unui câștigător, rămâne să se verifice că în timpul procedurii de ștergere a săgeți, nu este probabil să cadă într-un grup gol:

      Teorema

      Dacă cineva are o diagramă de preferință binară pentru mai mulți candidați (posibil incompletă) în care grupul de cap conține toți candidații, astfel încât să ștergeți una dintre săgeți nu poate aduce într-o situație în care noul grup de cap ar fi gol . Prin urmare, atunci când începe dintr-o diagramă a preferințelor binare în care grupul de cap conține toți candidații și că se însoțește săgețile una câte una, în primul moment în care grupul de cap încetează să conțină toți candidații dă un cap non-goală Grupul.

      demonstrație

      Demonstrăm doar începutul declarației, următoarea parte „în consecință”, rezultând imediat. Să ieșim dintr-o diagramă de preferință binară în care grupul de căi conține toți candidații și să ștergem într-o săgeată, pe care o numim x candidatul pe care la lăsat. Vom arăta că X este neapărat în noul grup de cap, care, prin urmare, nu va fi gol. Pentru a face acest lucru, luați în considerare orice candidat Y și arătați că putem merge de la Y la X după săgețile, în ciuda ștergerii făcute. Așa cum, înainte de ștergerea săgeții, grupul de cap conținea toți candidații, apoi am avut o cale care a mers de la Y la X. Dar în mod inevitabil această cale nu a împrumutat săgeata șters, deoarece această săgeată începe de la x atunci WAY X este punctul de sosire! Prin urmare, că calea poate fi urmată întotdeauna odată ce săgeata este ștersă, ceea ce am dorit.

      div>

      Am spus că interesul metodei Schulze a fost de a evita manipulările ca cele ale anarhiștilor în exemplul tabloului de șah. Se poate dovedi de fapt că o astfel de manipulare este imposibilă cu această metodă:

      Teorema (robustețea la manipulare)

      Să presupunem că există două tipuri de candidați: candidații „nerezonabili” și „candidații rezonabili” (noi Să presupunem că există cel puțin un candidat rezonabil) și numiți „alegători rezonabili” un elector care clasifică toți candidații nerezonabili la sfârșitul ordinii sale de preferințe. Deci, dacă există o majoritate absolută a alegătorilor rezonabili și acești alegători cu sinceritate, niciun candidat nerezonabil poate câștiga cu metoda Schulze.

      Demonstrație

      Din definiția metodei Schulze, arătați pur și simplu că niciun candidat nerezonabil nu aparține grupului de conducere într-o astfel de situație. Cu toate acestea, atunci când începem de la un candidat rezonabil și săgeata diagramei preferințelor binare, conducem în mod inevitabil la un alt candidat rezonabil: într-adevăr, majoritatea alegătorilor rezonabili asigură că nici o săgeată nu poate sublinia un candidat rezonabil la un candidat nerezonabil. Prin urmare, este imposibil să avem o cale care să las un candidat rezonabil și duce la un candidat nerezonabil, ceea ce am dorit.

      Concluzie

      Condorcet Criteriul pentru o metodă electorală democratică, care prevede că un candidat preferat la orice alt față în față trebuie să fie întotdeauna ales, permite într-o anumită măsură să evite problemele legate de votul strategic.Când nu există un câștigător Condorcet, ne putem imagina mai multe metode diferite „Condorcet”: printre care metoda Schulze are avantajul de a avea atât o justificare euristică simplă, cât și să fie mai robustă pentru unele forme de manipulare, de exemplu, minimaxul metodă. Acest lucru este în prezent una dintre cele mai populare metode de vot prin teoreticienii democrației și este folosit, de exemplu, de Debian GRATUIT dezvoltatori de sisteme de operare – Geeks încă în fruntea progresului bizar …; -)

      în a Articolul viitor, vom prezenta alte metode originale, nu satisface neapărat criteriul Condorcet, dar care au fost, de asemenea, susținute de teoreticieni pentru proprietățile lor matematice.

      referințe

    • în Blue Page: Paginile Wikipedia „Metoda Condorcet”, „Condorcet Paradox” și „metoda Schulze” (această pagină SCHULZE fiind mai degrabă în roșu).
    • pe teoremele electoratului median: fundamentale ale alegerii sociale Teoria, de Roger B. Myerson (1996); Text liber disponibil pe Internet (off-piste).
    • wiki.elecorma.com: un wiki care are diferite metode Condorcet și proprietățile lor (off-piste).

    Leave a comment

    Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *