MattricielledIfier scriere

Articol detaliat: Matrix de rotație

în spațiu euclidan dimensionat 3 , o rotație vectorială este definită de:

  • o unitate vector N → {\ displaystyle {\ vec {n}}
    {\ vec n}

    , care determină axa sa: Dreptul vectorilor invarianți prin această rotație vector este generat și orientat de acest vector;

  • unghiul său φ {\ displaystyle \ varpie \,}
    \ varhi \, cel al rotirii vectoriale asociate, restricționarea acestei rotații la planul π {\ displaystyle \ Mathbf {\ pi} \ ,}{\ Mathbf \ pi} \,

    ortogonal la axa.

l orientarea acestui plan este determinată de alegerea orientării axei. Cupluri (N →, φ) {\ DisplayStyle ({\ vec {n}}, \ varfi)}

({\ vec n}, \ varfi)

și (- N →, – φ) {\ DisplayStyle (- \ VEC {n}}, – \ varfi)}

(-{\vec N},-\varphi )(- {\ vec n }, – \ varfi)

reprezintă, prin urmare, aceeași rotație a spațiului.

Noi scriem (NX, NY, NZ) {\ DisplayStyle \ stânga (n_ {x}, n_ {y}, n_ {z} \ dreapta)}

\ Stânga (n_ {x}, n_ {y}, n_ {z} \ dreapta)

coordonatele vectorului unității n → {\ displaystyle {\ vec {n}}

div> într-o bază directă ortonormală (i →, j → k →) {\ displaystyle ({\ vec {i}}, {\ VEC {J}}, {{{{k}} \,}

(\ vec j}, {\ vec k} {\ Vec K} {\ Vec K},

fix:

nx 2 + ny 2 + nz 2 = {\ showstyle n_ {x} ^ {2} + n_ {y } ^ {2} + n_ {z} ^ {2} =} {\ {{}} {{{}} {{{}} {{}}} {{ } + N_ {y} ^ {2} + n_ {z} ^ {2} = {{{{} = 1

.

lasa u → {\ displaystyle {} {{{{} {} {\ vec} orice vector. Noton v → {{}}} iv {v}}

{\ vec {v}}

Imaginea sa prin rotație (N →, φ) {\ Displaystyle ({\ vec {n}}, \ varfi)}

({\ vec n}, \ varfi)

.

Cazul special SimpleModify

Să începem cu studiul casetei particulare N → = K → {\ Vec {n}} = {\ Vec {k}}

{\ vec n} = {\ vec k}

.

PLAN π {\ displaystyle \ mathbf {\ pi} \,}

{\ Mathbf \ Pi} \,

este atunci Avionul generat de vectori I → {\ displayStyle {\ vec {i}}}

\ vec. i

și j {\ displaystyle {\ vec {j}}}

. Vector U → {\ DisplayStyle {{\ Vec {u}}}

{\ vec u}

se descompune într-un zk → {\ displaystyl z vector { \ vec {k}}}

Collinear la n {{{{}}} iv {n}}

div> care este invariantă prin rotație și un vector xi → + yj → {\ displaystyle x {\ vec {i}} + y {{ vec {j}}}

care suferă rotație unghiul φ {\ displaystyle \ varfi}

\ varfi

în planul π {\ displaystyle \ mathbf {\ pi}}

{\ Mathbf \ Pi }

, și poate fi aplicat la Xi → + Yj → {\ AfișareStyle x {{{{}} + y {\ Vec {j}}}

X {\ Vec I} + Y {\ Vec J}

Formulele stabilite în cazul rotațiilor vectoriale plate.Putem scrie:

z ‘= z {}z'=z\,z’ = z \,

și (x ‘y’) = (cos ⁡ φ – SIN ⁡ φ SIN ⁡ φ COS ⁡ φ) (xy) {\ AfișareStyle {\ Begin {PmatrIx} X ‘\\ Y’ \ END {patrix }}} = {\ Begin {PmatrIx} \ cos \ varfi & – \ SIN \ VARPHI \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \ varhi \ capătul {PmatrIx}} {\ Begin {PMinarix} x \\ y} end {PmatrIx}}}

{\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}{\ Begin {patrix} x ‘\\ y’ \ sfârșitul {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ varphi – \ păcat \ varphi \\\ păcat \ varphi \ cos \ varphi \ end {pmatrix}} {\ begin {patrix} x \\ y \ end {patrix }}

ca mai sus,

care poate fi scris în forma sintetică:

(x ‘y’ z ‘) = (cos ⁡ φ – SIN ⁡ φ 0 SIN ⁡ φ COS ⁡ φ 0 0 0 1) (XYZ) {\ DisplayStyle {\ Begin {PMATRIX} x ‘\\ y’ \\ z ‘\ end {PmatrIx}} = {\ Begin {patrix} \ cos \ varfi & – \ SIN \ VARPHI & 0 \\\ păcat \ varfi & \ cos \ varfi && 1 \ capătul {PmatrIx}} {\ Begin {PmatrIx} x \\ y \\ z \ capătul {Pmatrix}}}

{\ Begin {Pmatrix} x '\\ y' \\ z '\ capătul {PmatrIx}} = {\ Begin {PmatrIx} \ Cos \ Varphi - \ SIN \ VARPHI 0 \\\ SIN \ VARPHI \ COS \ VARPHI 0 \\ 001 \ capătul { PmatrIx}} {\ Begin {PmatrIx} X \\ Y \\ z \ capătul {PmatrIx}}'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi &0\\\sin \varphi &\cos \varphi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\ Begin {Pmatrix} x '\\ y' \\ z '\ capătul {PmatrIx}} = {\ Begin {PmatrIx} \ Cos \ Varphi - \ SIN \ VARPHI 0 \\\ SIN \ VARPHI \ COS \ VARPHI 0 \\ 001 \ capătul { PmatrIx}} {\ Begin {PmatrIx} X \\ Y \\ z \ capătul {PmatrIx}}\\y\\z\end{pmatrix}}

General Casedifier Cauza

Dacă unitatea vectorului N → {\ AfișeazăStyle {\ Vec {n}}

{\ vec n}

este în comparație cu baza ortonormală directă (i →, j →, k →) {\ displaystyle ({\ vec {}}, {\ vec {j}}, {\ vec {k}}) \ ,}

(\ vec k}, {\ vec k},

Care servește la exprimarea componentelor, raționamentul este mai delicată.

Vector U → {\ DisplayStyle {\ VEC {}}}

{\ VEC U}

se descompune în sumă De (U → N →) N → {\ AfișareStyle ({\ vec {{n}} {\ vec {n}} {\ vec {n}}} {\ Vec {n}}}

( {\ vec n} {\ vec n}

Collinear la n {{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}} iv {n}}

{\ vec n} div> și invariantă prin rotație și w → = u → – (U → ⋅ n →) n → {\ displaystyle {\ vec {w}} = {\ vec {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {n}) {}}

{\ vec w} { \ VEC U} - ({\ vec} \ cdot {\ Vec n}

, element al π {\ displaystyle \ Mathbf {\ Pi} \,}

{\ Mathbf \ pi} \,

și care va fi supus unei rotiri în acest avion. Vectorul direct ortogonal la W → {\ DisplayStyle {\ Vec {w}}}

{\ vec w}

în plan și la același standard este N → ∧ W {\ Aflaționale {{}}} \ {}}} \ {}} \ div>

, deci imaginea lui W {{\ AfișareStyle {\ Vec {w}}}

În rotația colțului φ { \ DisplayStyle \ varfi}

\ Varfi

este (COS ⁡ φ) W → + (SIN ⁡ φ) N → ∧ W → {{{{{{{{{{\ AFLICASTYLE (\ COS \ VERPHI) {\ VEC {w}} + (\ SIN \ VARPHI) {\ VEC {n}} \ {\ Vec {w}}}

(\ cos \ VARPHI) {\ VEC W} + (\ SIN \ VAPHI) {\ VEC N} \ Wedge {\ Vec W}

.

În cele din urmă, u → {\}}}} {{{}}}} {{\vec U}{\ VEC U} prin rotație este: V → = (u → ⋅ N →) N → + (COS ⁡ φ) W → + (SIN ⁡ φ) N → ∧ W → {\ AfișareStyle {\ Vec {v}} = (\ vec {u}} \ cdot {\ vec . {\ VEC {n}} + (\ Cos \ Varfi) {\ Vec {w}} + (\ SIN \ VAPHI) {\ VEC {N}} \ {\ Vec {w}}}

{\ Vec V} = ({\ Vec U}} {\ Vec n} + (\ Cos} + (\ COS \ VAPHI) {\ VEC W} + (\ SIN \ VARPHI ) {\ Vec n} \ {\ Vec W}

DISPLICAȚII ÎNLOCUIREA W ღ {\ DisplayStyle {\ VEC {W}}

{\ VEC W}

Prin valoarea sa U → (U → ⋅ N →) N → {\ DisplayStyle {\ Vec {U}} – ({\ vec { U}} \ cdot {\ vec {n}} {{{}}} {{{}}} {{{}}}

iv Id {{ ) {\ Vec N}

, Obținem: V → = (U ⋅ N →) N → + (COS ⁡ φ) (U → – (U → ⋅ N →) N →) + (SIN ⁡ φ) N → ∧ U → {\ DisplayStyle {\ VEC {V}} = (\ vec {u}} \ cdot {\ vec {n}}) {\ vec {n}} + (\ COS \ VARPHI) ({\ VEC {U}} – ({\ vec {U}} \ cdot {\ vec {n}) {\ vec {not}}) + (\ SIN \ VARPHI) {{} {}} {}}

{\ VEC V} = ({\ vec} \ cdot {\ vec n}) {\ Vec U} + ({\ VEC U} CDOT {\ VEC N}) {\ Vec n}) + (\ Sin \ Varfi) {\ Vec N} \ Wedge {\ Vec N} \ Wedge {\ Vec N} U}

de unde, în cele din urmă, formula de rotație a Rodrigues:

v → = (cos ⁡ φ) U → + (1 – COS ⁡ φ) (U → ⋅ N →) N → + (SIN ⁡ φ) (N → U →) {\ AfișareStyle {\ Vec {v}} = (\ COS \ VARPHI ) \ {\ VEC {n} \ {{{{{}} \ {\ VEC {n}} {{{{\ VEC {n}} {{{\ VEC {n}} \, \, \ Stânga ({\ vec. {}} \ {\ Vec {u}} \ dreapta)}

{\ cos \ varphi) \ { \ vec u} + (1- \ cos \ varfi) ({\ vec u} \ {\ vec n} \ {\ \ vec n} \ {\ vec n} \ {\ vec n} \ {\ {\ Vec n} \ {\, {\ Verphi) \, \ } \ Wedge {\ vec u} \ dreapta)

Formula înrăutățită de mai sus oferă expresia vectorului V → { \ DisplayStyle {\ Vec {v}}}

Div> Div> al unui vector U → {\ AfișareStyle {\ Vec { U}}}

{\ vec u}

orice, prin rotație (N →, φ) {\ DisplayStyle ({\ vec {n}}, \ varfi)}

({\ vec n}, \ varfi)

.

Același rezultat poate fi prezentat în următoarea formă de matrice echivalentă:

(x ‘y’ z ‘) = m (xyz) {\ displaystyle {\ Începeți {PMATRIX} X ‘\\ Y’ \\ Z ‘\ capătul {PMATRIX}} = m {\ Begin {PmatrIx} X \\ Y \\ Z \ capătul {PMATRIX}}}

\ Begin {patrix} x '\ \ \\ z' \ end {Pmatrix}} = M {\ Begin {PmatrIx} X \\ Y \\ Z \ capătul {PMATRIX}}'\\y'\\z'\end{pmatrix}}=M\ Begin {patrix} x '\ \ \\ z' \ end {Pmatrix}} = M {\ Begin {PmatrIx} X \\ Y \\ Z \ capătul {PMATRIX}}\\y\\z\end{pmatrix}}

cu:

m = (cos ⁡ φ) (1 0 0 0 1 0 0 0 1) + (1 – cos ⁡ φ) (NX 2 Nxnynxnznxnyny 2 Nynznxnznznz 2) + (SIN ⁡ φ) (0 – Nznynz 0 – NX – NYNX 0) {\ DisplayStyle M = (\ COS \ Varfi) {\ Begin {patrix} 1 &&&&& 0 & 1 \ capătul {patrix}} + (1- tos \ varfi) {\ Begin {PmatrIx} N_ {x} ^ {2} & n_ {x} n_ {y} & n_ {x} n_ {z} n_ {x} n_ {y} n_ {y} ^ {2} & N_ {Y} N_ {z} \} {x} n_ {z} & n_ {y} n_ {z} iv id =” n_ {z} ^ {2} \ end {PMATRIX}} + \ (\ SIN \ VARPHI) { \ Începe {patrix} 0 & -n_ {z} & n_ {z} \\ n_ {z} \ \ l& 0 &- n_ {x} \\ – N_ {x} & n_ {x} & 0 \ capătul {patrix}}}

{\ displaystyle m = (\ cos \ varfi) {\ Begin {patrix} 100 \\ 010 \\ 001 \ capătul {PMATRIX}} + (1- \ Cos \ varfi) {\ Begin {PmatrIx} N_ {x} ^ {2} n_ {x} n_ {y} n_ {x} n_ { z} n_ {y} n_ {y {2} n_ {y} n_ {x} n_ {{x {x} n_ {z} n_ {z {z} n_ {z {z} n_ {z {z} n_ {z { ^ {2} \ capătul {patrix}} + \ (\ SIN \ VARPHI) {\ Begin {patrix} 0-N_ {z} n_ {z} {z} n_ {z} {z} n_ {z} {z} {z} 0-n_ {x} \\ - N_ { y} n_ {x} 0 \ end {Pmattrix}}}

matrice m se numește matrice de rotație. Este o matrice ortogonală directă, ceea ce înseamnă că coloanele sale formează o bază ortonormală directă sau că matricea sa transpusă este egală cu matricea inversă și că determinantul său este 1. invers, dat, dat. Orice matrice de rotație, putem Găsiți cu ușurință cosinul unghiului de rotație. Într-adevăr, urme de matrice (adică suma elementelor sale diagonale) este egală cu 1 + 2 cos ⁡ φ {φ {\ DisplayStyle 1 + 2 \ COS \ VARPHI \,}

1 + 2 \ COS \ VARPHI \,

.Mai mult, remarcăm că: m – t m = 2 (păcat ⁡ φ) (0 – nznynz 0 – NX – NYNX 0) {\ displayStyle M – {} ^ {t} M = 2 (\ SIN \ VAPHI) {\ Începe {patrix} 0 && n_ {z} \\ n_ {z} \ \\ n_ {z} \ \\ n_ {z} \ \\ _ {z} \ > 0 & n_ {x} & n_ {x} & 0 \ capătul {PmatrIx}}}

M - {} ^ {t} m = 2 (\ SIN \ VAPPHI) {\ BEAT {PMATRIX} 0-n_ {z} n_ {z} \ n_ {z} 0-n_ {x} \\ - N_ {Y} N_ {x} 0 \ end {PMATRIX}}

Acest lucru permite găsirea rapidă a axei și a sinusului asociate cu rotația. Eftilic, mu → {\ displaystyle m {\ vec {u}}

m {\ vec u}

și T → {{{}}} iv {{}}} iv {{}}

{} ^ {t} m {{} { VEC U}

Formați cele două laturi ale unui diamant al cărui vector (M – TM) U → = 2 (SIN ⁡ φ) N → ∧ U → {\ AfișajStyle (M – {} ^ {t } m) {\ vec {}} = 2 (\ sin \ varfi) {\ vec {n}} \ {\ vec {u}}}

(m - {} ^ { t} m) {\ Vec U} = 2 (\ SIN \ VARPHI) {\ VEC N} \ Wedge {\ Vec U}

este diagonala, ortogonală față de axa de rotație. Este diamantul lui Olinde Rodrigues.

Utilizarea QuateroniDifier

Articol detaliat: Quaternioane și rotație în spațiu.

Puteți folosi și noțiunea de Quaternioane. Într-adevăr, putem calcula imaginea V → {\ DisplayStyle {} V} \,}

{\ VEC V} \,

Vector U → {\ DisplayStyle {{{{{{}} \,} Div> {\ Vec U} \, Folosind produsul Quaternions în După forma:

(0, v →) = (0, r (φ, n →) (U →)) = (cos ⁡ φ 2, SIN ⁡ φ 2 N → ⋅ (0, U →) ⋅ (COS ⁡ φ 2, – SIN ⁡ φ 2 N →) {\ DisplayStyle (0, \ {\ vec {v}}) = \ stânga (0, \ \ Mathbf {r} _ {\ stânga (}, {\ vec {n} \ dreapta)} (\ vec {u}}} \ dreapta) = (\ cos {\ frac {\ varfi} {2}} , \ {\ Varfi} {2}} \ {\}} \ {\}} {\ {{\} {\ {{\} \ \ {\ {\ vec {u}) {{\ {\ VEC {U}}) 2} \ \ \ {{{\ varfi}} {}}}} {}}}} {{}}}}} {}}}} N}}}} { Vec v}) = \ stânga (0, \ {\ mathbf r} _ {{@ stânga (\ varfi, {\ vec n} \ dreapta)}} ({\ vec u}) \ dreapta) = (\ cos { \ FRAC \ VARPHI 2}, \ \ Verphi 2} \ {\ {\ Vec U}} \ {\ {\ Vec U}} \ {\ {{\ VEC U}} \ SIN {\ FRAC \ VAPHI 2} \ {\ vec n}

Compoziție a două rotații vectoriale

Compusul R 2 ∘ R 1 {\ DisplayStyle R_ {1} Circ R_ {1}}

din două rotații vectoriale R 1 = (N → 1, φ 1) {\ DisplayStyle R_ { 1} = ({\ vec. {1}} _ {1}, \ varfi _ {1})}

r_ {1} = ({\ vec n} _ {1 }, \ Varfi _ {1})

și r 2 = (n → 2, φ 2) {\ displaystyle r_ {2} = ({\ vec {n}} _ {2}, \ varfi _ {2})}

r_ {2} = ({\ vec n} _ {2}, \ varfi _ {2})

din spațiul de dimensiune 3 este o rotație vectorială. Caracteristici (N → 3, φ 3) {\ AfișareStyle ({\ vec {n}} _ {3}, \ varfi _ {3})}

a determina de la m 3 – t m 3 {\ displaystyle m_ {3} – {} ^ {t} M_ {3}}

m_ {3} - {} {3} M_ {3}

, unde m 3 {\ displaystyle m_ {3}}

M_ {3}

este produsul m 2 m 1 {\ displaystyle m_}}

m_ {2} M_ {1}

al matricelor inițiale de rotație sau din produsul Quaternions Definirea fiecăruia dintre rotații sau prin compunerea formulelor de Rodrigues referitoare la fiecare rotație.

găsim că:

cos ⁡ (φ 3 2) = cos ⁡ (φ 1 2) COS ⁡ (φ 2 2) – SIN ⁡ (φ 1 2) SIN ⁡ (φ 2 2) (n → 1 ⋅ N → 2) {\ DisplayStyle \ COS ({\ Frac {\ Varphi _ {3}} {2}}) = \ COS ({\ Frac {\ Varphi _ {1}} {2}}) \ COS ({\ frac {\ varphi _ {2}} {2}}) – \ SIN ({\ Frac {\ Varphi _ {1}} {2}}) \ SIN ({\ Frac {\ Varphi _ {2 }} {2}}) ({\ vec {1}} _ {1} \ cdot {}}}}}}}} _}}}

\ COS ({\ frac { \ Varphi _ {3}} 2}) = \ COS ({{{{\ varfi _ {1}} 2}) \ COS ({{{{{{\ VARPHI _ {2}} 2}) - \ Sin ({ \ Frac {\ varphi _ {1}} 2}) \ păcat ({\ frac {\ varfi _ {2}} 2} ({\ vec n} _ {1} \ cdot {\ vec n} _ {2 })

SIN ⁡ (φ 3 2) N → 3 = COS ⁡ (φ 1 2) SIN ⁡ (φ 2 2) N → 2 + cos ⁡ (φ 2 2) SIN ⁡ (φ 1 2) N → 1 + SIN ⁡ (φ 1 2) SIN ⁡ (φ 2 2) N → 2 ∧ N → 1 {\ DisplayStyle \ Sin ({\ Frac {\ Varphi _ {3}} {2}}) {\ vec {n}} _ {3} = \ COS ({{{\ varfi _ {1}} {2}}) \ SIN ({\ Frac {\ Varphi _ {2}} {2}}) {\ vec {n}} _ {2} + \ COS ({\ Frac {\ Varphi _ {2}} {2}}) \ Sin ({\ Frac {\ Varphi _ {1}} {2}}) {\}} _ {1} + \ Sin ({\ Frac {\ Varphi _ {1}} {2} \ Sin ({\ Frac {\ Varphi _ {2}} {2}}) {\ vec {n}} _ {2} \ wedge {\ vec {n}} _ {1}}



Leave a comment

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *