MatricielleDifier escrito

artículo detallada: matriz de rotación

en el espacio euclidiano dimensionada 3 , una rotación vectorial se define por:

  • un vector unitario N → {\ displaystyle {\ vec {n}}}
    {\ vec n}

    , que determina su eje: se genera y se orienta por este vector el derecho de los vectores invariantes por esta rotación vector;

  • su φ ángulo {\ displaystyle \ varphi \,}
    \ varphi \,

    , la de la rotación del vector plana asociada, restricción de esta rotación a la π plano {\ displaystyle \ mathbf {\ Pi} \ ,}

    {\ mathbf \ pi} \,

    ortogonal en el eje.

l Orientación de este plan Está determinado por la elección de la orientación del eje. Parejas (N →, φ) {\ displaystyle ({\ vec {n}}, \ varphi)}

({\ n vec}, \ varphi)

y (- n →, – φ) {\ displaystyle (- {\ vec {n}}, – \ varphi)}

(- {\ vec N }, - \ Varphi)

, por lo tanto, representa la misma rotación del espacio.

Escribimos (NX, NY, NZ) {\ DisplayStyle \ Izquierda (n_ {x}, n_ {y}, n_ {z} \ derecha)}

\ Izquierda (n_ {x}, n_ {y}, n_ {z} \ derecha)

Las coordenadas del vector de la unidad n → {\ mostrarstyle {\ vec {n}}}

{\ vec n}

en una base ortonormal directa (I →, J → K →) {\ displaystyle ({\ vec {I}}, {\ vec {j}}, {\ vec {k}} \,}

({\ vec i}, {\ j vec}, {\ vec k} \,

fijo:

nx 2 + ny 2 + nz 2 = ‖ n → ‖ 2 = 1 {\ displaystyle n_ {x} ^ {2} + n_ {y } ^ {2} + N_ {z} ^ {2} = \ | {\ vec {}} \ | ^ {2} = 1}

n _ {x} ^ {2 } + N_ {y} ^ {2} + N_ {z} ^ {2} = \ | {\ n vec} \ |. ^ {2} = 1

Sea u → {\ displaystyle {\ vec {u} {}} {\ vec u} Cualquier vector. NOTON V → {\ displaystyle {\ vec {V}}}

{\ vec {v}}

su imagen por rotación (n →, φ) {\ DisplayStyle ({\ vec {n}}, \ varphi)}

({\ vec n}, \ varphi)

.

Case especial Simplemodify

Vamos a comenzar con el estudio del caso particular N → = K → {\ DisplayStyle {\ VEC {N}} = {\ VEC {K}}}

{\ vec n} = {\ vec k}

.

Plan de π {\ displaystyle \ mathbf {\ pi} \,}

{\ mathbf \ pi} \,

A continuación, se el plano generado por los vectores I → {\ displaystyle {\ vec {i}}}

\ vec. I

y J → {\ displaystyle {\ vec {j}}}

. Vector U → {\ displaystyle {{\ VEC {U}}}

{\ vec u}

descompone en un zk → {\ displayStyl z vector { \ vec {k}}}

z {\ vec k}

colineal a n → {\ displaystyle {\ vec {n}}}

{\ vec n}

que es invariante por rotación, y un vector XI → + YJ → {\ displaystyle x {\ vec {i}} + y {\ vec {j}}}

que sufre φ ángulo de rotación {\ displaystyle \ varphi}

\ phi

en el π avión {\ displaystyle \ mathbf {\ pi}}

{\ mathbf \ pi }

, y se puede aplicar a xi → + yj → {\ displaystyle x {\ vec {}} + y {\ vec {j}}}

x {\ vec i} + y {\ vec j}

Las fórmulas establecidas en el caso de rotaciones de vectores planos.Podemos escribir:

z ‘= z {\ z displaystyle’ = z \,}

z '= z \,'=z '= z \,\,

y (x ‘y’) = (cos ⁡ φ – ⁡ pecado pecado φ ⁡ φ cos ⁡ φ) (xy) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x ‘\\ y’ \ end {patrix }} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ varphi & – \ sin \ varphi \\\ pecado \ varphi & \ cos \ phi \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}}}

{\ begin {x} patrix '\\ Y' \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ varphi - \ sin \ varphi \\\ pecado \ varphi \ cos \ phi \ end {pmatrix}} {\ begin {x} patrix \\ y \ end {patrix }}'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}{\ begin {x} patrix '\\ Y' \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ varphi - \ sin \ varphi \\\ pecado \ varphi \ cos \ phi \ end {pmatrix}} {\ begin {x} patrix \\ y \ end {patrix }}\\y\end{pmatrix}}

como anteriormente,

que se puede escribir en la forma sintética:

( ‘y’ x z ‘) = (cos ⁡ φ – pecado ⁡ φ 0 pecado ⁡ φ cos ⁡ φ 0 0 0 1) (xyz) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x ‘\\ y’ \\ z ‘\ end {pmatrix}} = {\ begin {patrix} \ cos \ varphi & – \ sin \ varphi & 0 \\\ sin \ varphi & \ cos \ varphi &&& 1 \ end {pmatrix}} {\ comienzan {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}}}

{\ begin {pmatrix} x '\\ y' \\ Z '\ End {pmatrix}} = {\ comienzan {pmatrix} \ cos \ varphi - \ sin \ varphi 0 \\\ sin \ varphi \ cos \ varphi 0 \\ 001 \ Fin { pmatrix}} {\ comienzan {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}}'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi &0\\\sin \varphi &\cos \varphi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\ begin {pmatrix} x '\\ y' \\ Z '\ End {pmatrix}} = {\ comienzan {pmatrix} \ cos \ varphi - \ sin \ varphi 0 \\\ sin \ varphi \ cos \ varphi 0 \\ 001 \ Fin { pmatrix}} {\ comienzan {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}}\\y\\z\end{pmatrix}}

Casedifier general caso

si la unidad vector N → {\ displaystyle {\ vec {n}}}

{\ vec n}

es cualquier comparación con la base ortonormal directa (I →, J →, K →) {\ displaystyle ({\ vec {i}}, {\ vec {j}}, {\ vec {k}}) \ ,}

({\ vec i}, {\ vec k}, {\ vec k} \,

que sirve para expresar los componentes, el razonamiento es más delicado

El vector U → {\ displaystyle {\ vec {u}}}

{\ vec u}

descompone en la SUM DE (U → ⋅ N →) N → {\ displaystyle ({\ vec {u}} \ cdot {\ vec {n}} {\ vec {n}}}

( {\ vec u} \ cdot {\ vec n}) {\ vec n}

colineal a n → {\ displaystyle {\ vec {n}}}

{\ vec n}

e invariante por rotación, y W → = U → – (U → ⋅ n →) N → {\ displaystyle {\ vec {w}} = {\ vec {u}} – ({\ vec {u}} \ cdot {\ vec {n}}) {. \ vec {n}}}

{\ vec W} = { \ vec u} - ({\ vec u} \ cdot {\ n vec}) {\ vec n}

, el elemento de π {\ displaystyle \ mathbf {\ pi} \,}

{\ mathbf \ pi} \,

y que se someterá a una rotación en este plano. El vector directamente orthogonal a w → {\ displaystyle {\ vec {w}}}

{\ vec w}

en el plano y del mismo estándar es N → ∧ W → {\ displaystyle {\ vec {n}} \ wedge {}} \ div>{\ vec n} \ Wedge {\ vec w}, por lo que la imagen de w → {\ displaystyle {\ vec {w}}}

{\ vec w}

En el φ de rotación esquina { \ displaystyle \ varphi}

\ varphi

es (cos ⁡ φ) w → + (sen ⁡ φ) n → ∧ W → {\ displaystyle (\ cos \ varphi) {\ vec {w}} + (\ sin \ varphi) {\ vec {n}} \ wedge {\ vec {w}}}

(\ cos \ varphi) {\ vec w} + (\ sin \ varphi) {\ vec n} \ wedge {\ vec w}

.

Finalmente, el U → {\ DisplayStyle {\ VEC {U}}}} {\ vec u} por rotación es: v → = (u → ⋅ N →) N → + (COS ⁡ φ) W → + (sin ⁡ φ) n → ∧ w → {\ mostrarstyle {\ vec {vec {u}} \ cdot {\ vec . {\ vec {n}} + (\ cos \ varphi) {\ vec {w}} + (\ sin \ varphi) {\ vec {n}} \ wedge {\ vec {w}}}

{\ vec v} = ({\ vec u} \ cdot {\ vec n}) {\ vec n} + (\ cos \ varphi) {\ vec w} + (\ sin \ varphi ) {\ vec n} \ wedge {\ vec w}

y si reemplaza w → {\ mostrarstyle {\ vec {w}}}

{\ VEC W}

por su valor U → – (u → ⋅ n →) n → {\ mostrarstyle {\ vec {u}} – ({\ vec { u}} \ cdot {\ vec {}}) {\ vec {n}}}

{\ vec u} - ({\ vec u} \ cdot {\ vec n} ) {\ vec n}

, obtenemos: v → = (u → ⋅ n →) n → + (cos ⁡ φ) (u → – (u → ⋅ n →) n →) + (Sin ⁡ φ) n → ∧ u → {\ mostrarstyle {\ vec {v}} = ({\ vec {u}} \ cdot {\ vec {n}}) {\ vec {n}} + (\ cos \ varphi) ({\ vec {u}} – ({\ vec {u}} \ cdot {\ vec {n}}) {\ vec {no}}}) + (\ sin \ varphi) {\ vec. {}} \ wedge {}}

{\ vec v} = ({\ vec u} \ cdot {\ vec n}) {\ vec n} + ({\ vec u} - ({\ vec u} \ cdot {\ vec n}) {\ vec n}) + (\ sin \ varphi) {\ vec n} \ wedge {\ vec u}

desde donde finalmente la fórmula de rotación de rodrigues:

v → = (cos ⁡ φ) U → + (1 – COS ⁡ φ) (U → ⋅ N →) N → + (sin ⁡ φ) (n → ∧ u →) {\ mostrarstyle {\ vec {v}} = (\ cos \ varphi ) \ {\ vec {u}} + (1- \ cos \ varphi) ({\ vec {u}} \ cdot {\ vec {n}} \ {\ vec {n}} + (\ sin \ varphi) \, \, \ Izquierda ({\ vec. {}} \ Wedge {\ vec {u}} \ derecha)}

{\ cos \ varphi) \ { \ vec u} + (1- \ cos \ varphi) ({\ vec u} \ cdot {\ vec n} \ {\ vec n} + (\ sin \ varphi) \, \, \ \ \ \ \ \ vec n n } \ Wedge {\ vec u} \ derecha)

La fórmula enmarcada de arriba le da la expresión vectorial de la v → { \ Dispantstyle {\ vec {v}}}

{\vec V}{\ vec v}

de un vector u → {\ mostrarstyle {\ vec { u}}}

{\ vec u}

, por rotación (n →, φ) {\ mostrarstyle ({\ vec {n}}, \ varphi)}

({\ vec n}, \ varphi)

.

El mismo resultado se puede presentar en la siguiente forma de matriz equivalente:

(x ‘y’ z ‘) = m (xyz) {\ mostrarstyle {\ Comenzar {pmatrix} x ‘\\ y’ \\ z ‘\ end {pmatrix}} = m {\ comienzan {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}}}

{\ comienzan {patrix} x '\ \ \ \\ z' \ \ \ \\ z '\ end {pmatrix}} = m {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}}'\\y'\\z'\end{pmatrix}}=M{\ comienzan {patrix} x '\ \ \ \\ z' \ \ \ \\ z '\ end {pmatrix}} = m {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}}\\y\\z\end{pmatrix}}

con:

m = (cos ⁡ φ) (1 0 0 0 0 1 0 0 0 1) + (1 – COS ⁡ φ) (NX 2 NXNYNXNZNXNYNY 2 NYNZNXNZNZNZ 2) + (Sin ⁡ φ) (0 – NZNYNZ 0 – NX – NYNX 0) {\ DisplayStyle M = (\ COS \ varphi) {\ comienzan {patrix} 1 &&&&&& 1 \ Fin {Patrix}} + (1- \ COS \ Varphi) {\ begin {pmatrix} n_ {x} ^ {2} & n_ {x} n_ {y} & n_ {x} n_ {z} \\ n_ {x} n_ {y} n_ {y} ^ {2} & n_ {y} n_ {x} \\ n_ {x} \\ n_ {x} n_ {z} & n_ {y} n_ {z} & n_ {z} ^ {2} \ end {pmatrix}} + \ (\ sin \ varphi) { \ comience {patrix} 0 & -n_ {z} & n_ {z} \\ n_ {z} \& 0 & -n_ {x} \\ – n_ {y} & n_ {x} & 0 \ end {Patrix}}}

{\ mostrarstyle m = (\ cos \ varphi) {\ comienzan {patrix} 100 \\ 010 \\ 001 \ End {PMatrix}} + (1- \ cos \ varphi) {\ begin {pmatrix} n_ {x} ^ {2} n_ {x} n_ {y} n_ {x} n_ { z} \\ n_ {x} n_ {y} n_ {y} ~ {2} n_ {y} n_ {x} \ \ n_ {x} n_ {z} n_ {y} n_ {z} n_ {z} ^ {2} \ End {Patrix}} + \ (\ sin \ varphi) {\ comienzan {patrix} 0-n_ {z} n_ {z} \ n_ {x} 0-n_ {x} \\ - n_ { y} _ {x} 0 \ End {pmatrix}}}

NotesModifier

matrix m Se llama matriz de rotación. Es una matriz ortogonal directa, lo que significa que sus columnas forman una base orthonormal directa, o que su matriz transpuesta es igual a su matriz inversa y que su determinante es 1. a la inversa, dado, dado. Cualquier matriz de rotación, podemos Encuentra fácilmente el coseno del ángulo de rotación. De hecho, el rastro de la matriz (es decir, la suma de sus elementos diagonales) es igual a 1 + 2 COS COS ⁡ φ {\ DisplayStyle 1 + 2 \ COS \ Varphi \,}

1 + 2 \ cos \ varphi \,

.Además, observamos que: M – T M = 2 (Sin ⁡ φ) (0 – NZNYNZ 0 – NX – NYNX 0) {\ DisplayStyle M – {} ^ {t} m = 2 (\ sin \ varphi) {\ comience {Patrix} 0 & -n_ {z} & n_ {z} \\ n_ {z} \& 0 & -n_ {x} \\ – n_ {y} & n_ {x} & 0 \ end {pmatrix}}}

m - {} ^ {t} m = 2 (\ sin \ varphi) {\ comienzan {pmatrix} 0-N_ {z} n_ {z} \ n_ {x} 0-n_ {x} \\ - n_ {y} \ _ {x} 0 \ end {pmatrix}}

Esto permite encontrar rápidamente el eje y el seno asociado con la rotación. FEPTRICAMENTE, MU → {\ DisplayStyle M {\ VEC {U}}}

M{\vec U}m {\ vec u} y t mu → {\ mostrarstyle {} ^ {t} {\ vec {_}}}

{} ^ {t} m {\ VEC U}

forma los dos lados de un diamante cuyo vector (m – tm) u → = 2 (sin ⁡ φ) n → ∧ u → {\ mostrarstyle (m – {} ^ {t } m) {\ vec {}} = 2 (\ sin \ varphi) {\ vec {n}} \ wedge {\ vec {u}}}

(M - {} ^ { t} m) {\ vec u} = 2 (\ sin \ varphi) {\ vec n} \ wedge {\ vec u}

es la diagonal, ortogonal al eje de rotación. Es el diamante de Olinde Rodrigues.

Uso de cuaternionsmodifier

detallada Artículo detallado: cuaternions y rotación en el espacio.

También puede usar la noción de cuaterniones. De hecho, podemos calcular la imagen V → {\ DisplayStyle {\ Vec {v}} \,}

{\ VEC V} \,

vector u → {\ displaystyle {\ vec {u}} \,}

{\ vec u} \,

utilizando el producto de cuaternions en el siguiente forma:

(0, v →) = (0, r (φ, n →) (U →)) = (COS ⁡ φ 2, pecado ⁡ φ 2 N → ⋅ (0, u →) ⋅ (COS ⁡ φ 2, – Sin ⁡ φ 2 N →) {\ DisplayStyle (0, \ {\ VEC {V}}) = \ IZQUIERDA (0, \ \ mathbf {r} _ {\ izquierda (}, {\ vec {n}} \ derecha)} ({\ vec {u}}} \ derecha) = (\ cos {\ frac {\ varphi} {2}} , \ \ Sin {\ frac {\ varphi} {2}} \ {\ vec {n}} \ cdot (0, \ {\ vec {u}}) \ CDOT (\ COS {\ frac {\ varphi} { 2}}, \ – \ pecado {\ frac {\ varphi} {2}} {\ vec {n}}}}

(0,\ {\vec V})=\left(0,\ {\mathbf R}_{{\left(\varphi ,{\vec N}\right)}}({\vec U})\right)=(\cos {\frac \varphi 2},\ \sin {\frac \varphi 2}\ {\vec N})\cdot (0,\ {\vec U})\cdot (\cos {\frac \varphi 2},\ -\sin {\frac \varphi 2}\ {\vec N})(0, \ {\ Vec v}) = \ IZQUIERDO (0, \ {\ mathbf r} _ {{\ \ \ varphi, {\ vec n} \ derecha)}} ({\ vec u}) \ derecha) = (\ cos { \ Frac \ varphi 2}, \ \ sin {\ frac \ varphi 2} \ {\ vec n} \ cdot (0, \ \ \ vec u}) \ CDOT (\ COS \ FRAC \ Varphi 2}, \ – \ Sin {\ frac \ varphi 2} \ {\ vec n})

Composición de dos rotaciones vectoriales Modifier

El compuesto R 2 ∘ R 1 {\ DisplayStyle R_ {2} \ Circ R_ {1}}

r_ {2} \ circunscilación {1}

de dos rotaciones vectoriales R 1 = (n → 1, φ 1) {\ mostrarstyle r_ { 1} = ({\ vec. {1}} _ {1}, \ varphi _ {1})}

r_ {1} = ({\ vec n} _ {1 }, \ Varphi _ {1})

y r 2 = (n → 2, φ 2) {\ mostrarstyle r_ {2} = ({\ vec {n}} _ {2}, \ varphi _ {2})}

r_ {2} = ({\ vec n} _ {2}, \ varphi _ {2})

Del espacio de dimensión 3 es una rotación vectorial. Características (N → 3, φ 3) {\ Displaystyle ({\ vec {n}} _ {3}, \ varphi _ {3})}

de IT determinó de M 3 – T M 3 {\ DisplayStyle M_ {3} – {} ^ {t} m_ {3}}}

, donde m 3 {\ displaystyle m_ {3}}

M_ {3}

es el producto M 2 M 1 {\ DisplayStyle M_ {2} M_ {1}}

M_ {2} M_ {1}

de las matrices de rotación inicial, o del producto de los cuaterniones que definen cada una de las rotaciones, o componiendo las fórmulas de rodrigues relacionados con cada rotación.

Encontramos que:

cos ⁡ (φ 3 2) = cos ⁡ (φ 1 2) COS ⁡ (φ 2 2) – Sin ⁡ (φ 1 2) Sin ⁡ (φ 2 2) (n → 1 ⋅ n → 2) {\ mostrarstyle \ cos ({\ frac {\ varphi _ {3}} {2}}) = \ cos ({\ frac {\ varphi _ {1}} {2}}) \ Cos ({\ frac {\ varphi _ {2}} {2}}) – \ sin ({\ frac {\ varphi _ {1}} {2}}) \ sin ({\ frac {\ varphi _ {2 }} {2}}) ({\ vec {1}} _ {1} \ cdot {\ vec {2}} _}}}

\ COS ({\ frac { \ Varphi _ {3}} 2}) = \ cos ({\ frac {\ varphi _ {1}} 2}) \ cos ({\ frac {\ varphi _ {2}} 2}) - \ pecado ({ \ Frac {\ varphi _ {1}} 2}) \ sin ({\ frac {\ varphi _ {2}} 2}) ({\ vec n} _ {1} \ cdot {\ vec n} _ {2 })

pecado ⁡ (φ 3 2) n → 3 = cos ⁡ (φ 1 2) Sin ⁡ (φ 2 2) N → 2 + cos ⁡ (φ 2 2) Sin ⁡ (φ 1 2) N → 1 + Sin ⁡ (φ 1 2) Sin ⁡ (φ 2 2) N → 2 ∧ N → 1 {\ DisplayStyle \ Sin ({\ frac {\ varphi _ {3}} {2}}) {\ vec {n}} _ {3} = \ cos ({\ frac {1 \ varphi _ {1}} {2}}) \ sin ({\ frac {\ varphi _ {2}} {2}}) {\ vec {n}} _ {2} + \ cos ({\ frac {\ varphi _ {2}} {2}}) \ sin ({\ frac {\ varphi _ {1}} {2}}) {\ vec. {1}} _ {1} + \ sin ({\ frac {\ varphi _ {1}} {2}} \ sin ({\ frac {\ varphi _ {2}} {2}}) {\ vec {n}} _ {2} \ wedge {\ vec {n}} _ {1}}


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